Dr. Ronald St ¨over WiSe 2008/2009 Zentrum f ¨ur Technomathematik

Dr. Ronald St ¨over WiSe 2008/2009 Zentrum f ¨ur Technomathematik

Universit ¨at Bremen

Numerische Mathematik 2

Ubung Nr. 11 ¨

Aufgabe 1 (Eigenschaften der Tschebyscheff-Polynome) 1+2+2 Punkte Definiert man T _k (t) := cos(k arccos(t)) f ¨ur k ∈ N 0 , t ∈ [−1, 1] , dann erf ¨ullen diese Funktionen die Rekursionsformel

T ₀ (t) = 1 , T ₁ (t) = t , T _k+1 (t) = 2t T _k (t) − T k−1 (t) f ¨ur k ≥ 1 .

Offensichtlich sind diese T k Polynome vom Grad k , die f ¨ur alle t ∈ R existieren. Zeigen Sie:

a) F ¨ur alle t 6= 0 und k ≥ 0 gilt T k

1

2 (t + ¹ _t )

= ¹ ₂

t ^k + t ^−k

.

b) ∀t ∈ R : T _k (t) = ¹ ₂

t + √

t ² − 1 k

+ t − √

t ² − 1 k

(mit der Interpretation √

t ² − 1 = ı √

1 − t ² f ¨ur |t| < 1 ) c) Sei t ^∗ ∈ / [a, b] , x : [a, b] → [−1, 1] , x(t) := 2 ^t−a _b−a − 1 und

T ˆ _k : [a, b] −→ R , T ˆ _k (t) := T k (x(t)) T _k (x(t ^∗ )) . Dann gilt max

t∈[a,b] | T ˆ _k (t)| =: k T ˆ _k k ∞ = min n

kpk ∞ | p ∈ Π _k , p(t ^∗ ) = 1 o .

Hinweise: Widerspruchsbeweis mit p , betrachten Sie T ˆ _k − p an den Stellen t ^∗ und t _l = x ⁻¹ (cos( ^lπ _k )) f ¨ur l = 0, . . . , k .

Aufgabe 2 (Zwei Eigenschaften des CG-Verfahrens) 2+2 Punkte a) Zeigen Sie, dass das CG-Verfahren invariant bzgl. orthogonaler Transformationen ist, d.h.:

Sind (x ^(k) ) die CG-Iterierten bzgl. Ax = b sowie Startvektor x ⁽⁰⁾ und ist V ∈ R ^{n×n or-} thogonal, dann gilt f ¨ur die Iterierten (˜ x ^(k) ) des CG-Verfahrens angewandt auf A ˜ x ˜ = ˜ b mit A ˜ = V AV ^T , ˜ b = V b und Startvektor x ˜ ⁽⁰⁾ = V x ⁽⁰⁾ die Beziehung:

˜

x ^(k) = V x ^(k) f ¨ur alle k .

b) Seien e ^(k) = x ^(k) − x ^∗ die Fehlervektoren beim CG-Verfahren angewandt auf Ax = b mit Startvektor x ⁽⁰⁾ , p ^(k) seien die dabei verwendeten Suchrichtungen. n ^∗ bezeichne die Anzahl der Iterationen bis zur Konvergenz. Stellt man den Anfangsfehler in der Art

e ⁽⁰⁾ =

n

−1

X

j=0

β j p ^(j)

dar (warum ist das m ¨oglich?), dann gilt

e ^(k) =

n

−1

X

j=k

β _j p ^(j) f ¨ur k ≤ n ^∗

(d.h. in jedem Iterationsschritt wird eine Basiskomponente des Anfangsfehlers eliminiert).

Aufgabe 3 (Simulation einer W ¨armeverteilung) 6 Punkte

Wir betrachten einen quadratischen Beh ¨alter, in dem eine konstante W ¨armequellendichte vorhan- den ist und der ein quadratisches Rohr enth ¨alt, dessen Oberfl ¨ache eine konstante Temperatur aufweist. Vereinfachend betrachten wir einen Querschnitt durch diesen Beh ¨alter:

Die Temperaturverteilung im Beh ¨alter wird durch folgende partielle Differentialgleichung mit Rand- und Anfangswerten modelliert:

u t − u xx − u yy = 2 im Gebiet Ω

u = 0 auf dem Rand des ¨außeren Quadrats ⊂ ∂Ω u = 5 auf dem Rand des inneren Quadrats ⊂ ∂Ω u(x, 0) = 0 ∀ x ∈ Ω Temperaturstartverteilung

wobei Ω wie in der Abbildung definiert sei.

a) Wenden Sie die vertikale Linienmethode auf die obige Differentialgleichung an, d.h. hal- ten Sie t kontinuierlich und diskretisieren Sie nur bzgl. des Ortes (also u _xx , u _yy ), um ein Differentialgleichungssystem bzgl. t zu erhalten. Das ¨außere Quadrat habe dabei eine Sei- tenl ¨ange von 4 cm und das innere Quadrat eine Seitenl ¨ange von 2 cm. Verwenden Sie eine Diskretisierung mit ∆x = ∆y = ¹ ₃ .

b) ¨ Uberlegen Sie nun, wie die partielle Differentialgleichung effizient gel ¨ost werden kann.

Hinweis: Indem Sie die Symmetrie des Gebietes ausnutzen, k ¨onnen Sie das zu betrach- tende Gebiet verkleinern.

c) Geben Sie die resultierenden gew ¨ohnlichen Differentialgleichungssysteme an.

d) L ¨osen Sie diese gew ¨ohnlichen Differentialgleichungssysteme f ¨ur das Zeitintervall [0, 1] . Visualisieren Sie die L ¨osung.

Abgabe bis: 19. Januar 2009

10.00 Uhr

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