Winkel zwischen zwei Vektoren
F¨ ur ~ a, ~ b 6= ~ 0 bezeichnet man mit ^ (~ a, ~ b) ∈ [0, π] den kleineren der beiden Winkel, den die mit den Vektoren assoziierten Pfeile in einem gemeinsamen Scheitelpunkt bilden.
Die beiden Vektoren sind orthogonal, ~ a ⊥ ~ b, wenn ^ (~ a, ~ b) = π/2 oder ein Vektor der Nullvektor ist.
Winkel k¨ onnen mit Hilfe des Skalarproduktes berechnet werden:
cos ^ (~ a, ~ b) = ~ a · ~ b
| ~ a| | ~ b| . Einige Kosinuswerte:
ϕ 0
π6 π4 π3 π2 2π3 3π4 5π6π cos ϕ 1
√3 2
√2 2
1
2
0 −
12−
√2
2
−
√3
2
−1
Beweis
Herleitung der Formel cos ^ (~ a, ~ b) = ~ a · ~ b/(|~ a| | ~ b|) mit dem Kosinussatz
2 |~ a| | ~ b| cos γ
= | ~ a|
2+ | ~ b|
2− | ~ c |
2Einsetzen von ~ c = (− ~ a) + ~ b Vereinfachung der rechten Seite
| ~ a|
2+ | ~ b|
2− | ~ b − ~ a|
2=
3
X
k=1
a
2k+
3
X
k=1
b
k2−
3
X
k=1
(b
k− a
k)
2=
3
X
k=1
