Ubungen zur Vorlesung ¨ Partielle Differentialgleichungen II

Rheinisch-Westf¨alische Technische Hochschule Aachen Institut f¨ur Mathematik

Prof. Dr. Heiko von der Mosel Dipl. Math. Simon Blatt

Ubungen zur Vorlesung ¨ Partielle Differentialgleichungen II

Serie 22 vom 15.6.2006

Aufgabe 85

u∈C⁴(Ω)erf¨ulle die voll nichtlineare partielle Differentialgleichung

F(.,u,Du,D²u) =0 in Ω, (1) wobei F∈C²(Ω×R×Rⁿ×S(n))mit S(n):={A∈R^n×n: A=A^T}.

(i) Linearisieren Sie diese Gleichung, indem Sie (1) zweimal in Richtung von ξ ∈Rⁿ differenzieren, um die folgende Identit¨at in

u_{ξ ξ} :=

∑

u_xixkξⁱξ^k zu erhalten:

Lu_{ξ ξ} :=F_{ri j}∂i ju_{ξ ξ} =−F_wi∂iu_{ξ ξ}−F_zu_{ξ ξ}−Q_ξ, wobei

Q_ξ :=F_{ri jrkl}∂i ju_ξ∂klu_ξ+2F_{ri jwk}∂i ju_ξ∂ku_ξ+2F_{ri jz}∂i ju_ξu_ξ+2F_{ri jxk}∂i ju_ξξk

+F_wiwk∂iu_ξ∂ku_ξ+2F_wiz∂iu_ξu_ξ+2F_wixk∂iu_ξξk (2) +F_zz(u_ξ)²+2F_zxku_ξξk+F_xkxlξkξl.

Hierbei ist das Argument in F und in den Ableitungen von F jeweils das Tupel (x,u,Du,Du²).

(ii) Beweisen Sie, dass Q_ξ aus (2) f¨ur|u|+|Du| ≤Γdie Absch¨atzung Q_ξ ≤Λ(Γ) 1+ (1+|D²u|)|D³u|+|D²u|³

∀ξ ∈Sⁿ⁻¹ (8.5) erf¨ullt, wenn F konkav in r ist, und wenn zus¨atzlich f¨ur|z|+|w| ≤Γdie folgenden Unglei- chungen gelten:

|F_{ri jwk}(x,z,w,r)| ≤Λ(Γ),

|F_{ri jz}(x,z,w,r)|,|F_{ri jxk}(x,z,w,r)|,|F_wiwj(x,z,w,r)| ≤Λ(Γ)(1+|r|),

|F_wixj(x,z,w,r)|,|F_wiz(x,z,w,r)| ≤Λ(Γ)(1+|r|²),

|F_zz(x,z,w,r)|,|F_zxi(x,z,w,r)|,|F_xixj(x,z,w,r)| ≤Λ(Γ)(1+|r|³).

Aufgabe 86

Betrachten Sie die voll nichtlineare partielle Differentialgleichung (1) aufΩ⊂⊂Rⁿoffen mit∂Ω∈C³unter den Bedingungen (φ), (E) und (8.3) aus der Vorlesung mit einer Konstan- tenΛ∈[1,∞), und zeigen Sie, dass (φ), (E) und (8.3) unter einer C³-Gebietstransformation Φ:Rⁿ→Rⁿin gleichwertige Bedingungen (φ^∗), (E*) und (8.3*) mit geeignet modifizerter KonstanteΛ^∗ ¨ubergehen.

1

Aufgabe 87

(i) Beweisen Sie: Falls f¨ur F∈C¹(Ω×R×Rⁿ×S(n))die Matrix(F_{ri j})∈R^n×npositiv semidefinit ist, dann gilt

F(x,z,w,r)≤F(x,z,w,r+q) ∀q∈S(n),q≥0, wobei q≥0 :⇔q positiv semidefinit.

(ii) Beweisen Sie: F¨ur F∈C¹(Ω×R×Rⁿ×S(n))sind die folgenden Elliptizit¨atsbedin- gungen (E) und (E*) ¨aquivalent:

F_{ri j}(x,z,w,r)ξⁱξ^j≥ 1

Λ|ξ|² ∀ξ ∈Rⁿ,(x,z,w,r)∈Ω×R×Rⁿ×S(n), (E) F(x,z,w,r+q)−F(x,z,w,r)≥1

Λkqk ∀q∈S(n),q≥0,(x,z,w,r)∈Ω×R×Rⁿ×S(n).

(E*) Hinweis: F¨ur (E) ⇒ (E*) betrachten Sie einen Eigenvektor v von q mit kvk=1 und qv=kqkv, und sch¨atzen v·(DFq)v nach unten ab. Dann k¨onnen Sie v zu einer Orthonormalbasis desRⁿerg¨anzen und nutzen die Unabh¨angigkeit der Spur von der Basiswahl. F¨ur (E*)⇒(E) w¨ahlen Sie das dyadische Produkt q :=ξ⊗ξ =ξ ξ^T, ξ∈Rⁿ, und bilden die Richtungsableitung von F nach r in Richtung von q.

(iii) F∈C¹(Ω×R×Rⁿ×S(n))heißt elliptisch bez¨uglich u f¨ur u∈C²(Ω), falls F die Elliptizit¨atsbedingung (E) auf der Menge

{(x,u(x),Du(x),D²u(x)): x∈Ω}

erf¨ullt. Falls F nur Lipschitz stetig in r ist, dann soll die Bedingung (E) ¨uber- all dort gelten, wo die Ableitungen Fr_{i j} existieren, also f¨urL^k-fast alle r∈S(n), k=dim S(n) =n(n+1)/2.

Untersuchen Sie folgende Beispiele auf Elliptizit¨at:

(a) [Monge-Amp`ere-Gleichung] F(x,u,Du,D²u):=det D²u−f(x) =0, f >0.

(b) [Pucci-Gleichungen] F¨urΛ≥n definiere M_Λ[u] := 1

Λ∆u+ (1−(n/Λ))λmax(D²u), m_Λ[u] := 1

Λ∆u+ (1−(n/Λ))λ_min(D²u),

wobeiλmax(r)den maximalen Eigenwert der Matrix r∈S(n)undλmin(r)den minimalen Eigenwert von r bezeichnet. Die Pucci-Gleichungen lauten

F1(x,u,Du,D²u):=M_Λ[u]−f(x) =0 und F2(x,u,Du,D²u):=m_Λ[u]−f(x) =0.

Hinweis: Beweisen Sie z.B. f¨ur F₁zun¨achst mit Hilfe der Charakterisierung λmax(A) := sup

v∈Sⁿ⁻¹

v·Av f¨ur A∈S(n),

dass die Funktionλ_max: S(n)→RLipschitzstetig ist. Dann machen Sie sich klar, dass f¨ur A∈S(n), woλmaxdifferenzierbar ist, die Ungleichung

Dλ_max(A)·B=∂ri jλmax(A)b_{i j}≥0

f¨ur alle positiv semidefiniten Matrizen B= (b_{i j})∈S(n)gilt, bevor Sie schließ- lich B geschickt w¨ahlen (vgl. Teil (ii)), um die Elliptizit¨atsbedingung an den Differenzierbarkeitsstellen von M_Λzu ¨uberpr¨ufen.

2

(c) [Quasilineare Gleichungen]

F(x,u,Du,D²u):=a_{i j}(x,u,Du)∂_{i j}u+b(x,u,Du) =0.

mit 1

Λ|ξ|²≤ai jξⁱξ^j≤Λ|ξ|² ∀ξ ∈Rⁿ.

Aufgabe 88

F(.,u,Du,D²u):=a_{i j}∂i ju+b_i∂iu+cu=0.

Welche zus¨atzlichen Bedingungen an die Koeffizienten a_{i j},b_i,c implizieren die G¨ultigkeit der Voraussetzung (8.2) der Vorlesung an F, d.h.

lim sup

z→∞ sup

x∈ΩF(x,z,0,0)<0 und lim inf

z→−∞ inf

x∈ΩF(x,z,0,0)>0?

Vergleichen Sie dies mit den Maximumprinzipen aus Kapitel 2 der Vorlesung.

3