Aufgabe IV.1 Seien Ω⊂Rd offen und beschr¨ankt und f ∈Lq/2(Ω) f¨ur ein q &gt

Moritz Kaßmann

Fakult¨at f¨ur Mathematik

Sommersemester 2012 Universität Bielefeld

Aufgaben und Projekte zur Vorlesung Partielle Differentialgleichungen II

Dienstag, 5.6.12

Bei den meisten Regularit¨atsaussagen beschr¨ankt man sich im Beweis auf den Nach- weis der gew¨unschten Aussage bez¨uglich der Einheitskugel. Wie man den allgemeinen Fall dann erh¨alt, wird auf diesem Zettel demonstriert. Nebenbei sieht man, dass die Abh¨angigkeit der Konstanten vom Radius der betrachteten Kugel keinen Spielraum zul¨asst.

Aufgabe IV.1

Seien Ω⊂R^d offen und beschr¨ankt und f ∈L^q/2(Ω) f¨ur ein q > d. Nehmen Sie an, die folgende Aussage sei bewiesen:

(A) F¨ur jede Subl¨osung u∈H¹(Ω) von −∆u=f in Ω gilt, fallsB(1)⊂Ω, sup

B(1/2)

u⁺≤c ku⁺k_L2(B(1))+kfk_Lq/2(B(1))

mit einer Konstanten c >0.

Beweisen Sie mittels Verschiebung/Skalierung, dass dann mit zwei zu w¨ahlenden Expo- nentenδ1, δ2 ∈Rfolgende Aussage gilt:

(B) F¨ur jede Subl¨osung u∈H¹(Ω) von −∆u=f in Ω gilt, fallsB(x₀, R)⊂Ω, sup

B(x0,R/2)

u⁺≤c R^δ1ku⁺k_L2(B(x0,R))+R^δ2kfk_Lq/2(B(x0,R))

mit einer Konstanten c >0.

Aufgabe IV.2

Die H¨olderstetigkeit schwacher L¨osungen von elliptischen Differentialgleichungen in Di- vergenzform mit messbaren beschr¨ankten Koeffizienten folgte in der Vorlesung aus der Harnack-Ungleichung. Hierbei wurde untersucht, wie sich die Oszillation

ω(r) = sup

B(r)

u− inf

B(r)u

f¨urr→0 verh¨alt. Derselbe Beweis erlaubt auch die Untersuchung f¨urr→ ∞. Beweisen Sie so folgenden Satz:

Theorem[Liouville] Seien a_ij :R^d → R messbar und beschr¨ankt. Die Matrix (a_ij) sei gleichm¨aßig positiv definit. Die Funktion u∈H_loc¹ (R^d) erf¨ulle

ˆ

R^d

a_ij∂_ju∂_iϕ= 0

f¨ur jede Funktion ϕ∈H₀¹(R^d).u sei zus¨atzlich beschr¨ankt. Dann ist u bereits konstant.

Aufgabe IV.3

Seien Ω⊂R^d offen und beschr¨ankt und f ∈L^q/2(Ω) f¨ur ein q > d. Nehmen Sie an, die folgende Aussage sei bewiesen:

(A) F¨ur jede L¨osung u ∈H¹(Ω) von −∆u= f in Ω gilt, falls B(1)⊂ Ω, f¨ur fast alle x, y∈B(1/2)

|u(x)−u(y)|

|x−y|^α ≤ch (

B(1)

|f|^q/2)^2/q+ (

B(1)

|u|²)^1/2 i

mit zwei Konstanten c >0, α∈(0,1).

Beweisen Sie mittels Verschiebung/Skalierung, dass dann mit einem zu w¨ahlenden Ex- ponenten δ∈Rfolgende Aussage gilt:

(B) F¨ur jede L¨osung u ∈ H¹(Ω) von −∆u = f in Ω gilt, falls B(x0, R) ⊂ Ω, f¨ur fast allex, y∈B(x0, R/2)

|u(x)−u(y)|

|x−y|^α ≤cR^δh R²(

B(x0,R)

|f|^q/2)^2/q+ (

B(x0,R)

|u|²)^1/2 i

mit zwei Konstanten c >0, α∈(0,1).

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