offen und ω = f dx

105

3.3 Integration

Definition

Sei B ⊂ R

ⁿ

offen und ω = f dx

1

∧ . . . ∧ dx

n

ein stetige n-Form mit kompaktem Tr¨ ager auf B . Dann setzt man

Z

B

ω :=

Z

B

f (x) dx

1

. . . dx

n

.

3.3.1. Satz

Sei Φ : U → V ein Diffeomorphismus zwischen offenen Mengen im R

ⁿ

, ω eine n-Form mit kompaktem Tr¨ ager auf V . Dann ist

Z

U

Φ

^∗

ω = sign det(J

_Φ

) Z

V

ω.

Beweis: Sei ω = f dy

¹

∧ . . . ∧ dy

ⁿ

. Die Transformationsformel liefert:

Z

u

Φ

^∗

ω = Z

U

(f ◦ Φ) · det(J

_Φ

) dx

¹

∧ . . . ∧ dx

ⁿ

= Z

U

f (Φ(x)) · det J

_Φ

(x) dx

= sign det(J

_Φ

) · Z

U

f (Φ(x)) · |det J

_Φ

(x)| dx

= sign det(J

_Φ

) · Z

V

f(y) dy

= sign det(J

_Φ

) · Z

V

ω.

Definition

Es sei X eine n-dimensionale orientierte Mannigfaltigkeit, (U, ϕ) eine positiv orientierte Karte und ω eine stetige n-Form auf X mit kompaktem Tr¨ ager in U . Dann setzen wir

Z

X

ω :=

Z

ϕ(U)

(ϕ

⁻¹

)

^∗

ω.

Die Definition h¨ angt nicht von der gew¨ ahlten Karte ab. Ist (V, ψ) eine weitere

positiv orientierte Karte mit Tr(ω) ⊂ V , so ist

Z

ψ(V)

(ψ

⁻¹

)

^∗

ω = Z

ψ(U∩V)

(ψ

⁻¹

)

^∗

ω

= Z

ϕ(U∩V)

(ψ ◦ ϕ

⁻¹

)

^∗

(ψ

⁻¹

)

^∗

ω

= Z

ϕ(U∩V)

(ϕ

⁻¹

)

^∗

ω = Z

ϕ(U)

(ϕ

⁻¹

)

^∗

ω.

Es sei jetzt (U

ι

, ϕ

ι

)

ι∈I

ein orientierter Atlas f¨ ur X und (f

ι

)

ι∈I

eine dazu passende Teilung der Eins.

Definition

Ist ω eine stetige n-Form mit kompaktem Tr¨ ager auf X, so setzen wir Z

X

ω := X

ι∈I

Z

X

f

ι

· ω.

Wir m¨ ussen uns erst mal ¨ uberlegen, dass diese Definition sinnvoll ist.

1) Nach Voraussetzung ist K := Tr(ω) kompakt. Zu jedem x ∈ K gibt es eine offene Umgebung U = U (x), die nur f¨ ur endlich viele ι den Tr¨ ager von f

_ι

trifft. Da man K mit endlich vielen solchen Umgebungen ¨ uberdecken kann, ist die Summe in der Integraldefinition endlich.

2) Sei (V

_ν

)

ν∈N

ein weiterer (gleich-orientierter) Atlas und (g

_ν

)

ν∈N

eine dazu pas- sende Teilung der Eins. Dann ist f

_ι

g

_ν

= 0 f¨ ur fast alle (ι, ν), und es gilt:

X

ι

Z

X

f

_ι

ω = X

ι

Z

X

X

ν

g

_ν

f

_ι

ω = X

ι,ν

Z

X

g

_ν

f

_ι

ω

= X

ν

Z

X

X

ι

f

_ι

g

_ν

ω = X

ν

Z

X

g

_ν

ω.

3.3.2. Eigenschaften des Integrals

Sei X eine orientierte Mannigfaltigkeit, sowie ω, ω

₁

und ω

₂

n-Formen mit kom- paktem Tr¨ ager auf X: Dann gilt:

1. Sind c

₁

, c

₂

∈ R , so ist R

X

(c

₁

ω

₁

+ c

₂

ω

₂

) = c

₁

R

X

ω

₁

+ c

₂

R

X

ω

₂

.

2. Ist X

⁻

die gleiche Mannigfaltigkeit mit entgegengesetzter Orientierung, so ist R

X⁻

ω = − R

X

ω.

3. Ist Φ : Y → X ein orientierungserhaltender Diffeomorphismus, so ist R

X

ω = R

Y

Φ

^∗

ω.

3.3 Integration 107

Der Beweis ist trivial.

Unter einer Nullmenge im R

ⁿ

verstehen wir eine Lebesgue-Nullmenge.

Zur Erinnerung: M ⊂ R

ⁿ

heißt eine Lebesgue-Nullmenge, falls es zu jedem ε > 0 eine Folge (Q

_ν

) von (achsenparallelen) Quadern im R

ⁿ

gibt, so dass M ⊂ S

ν

Q

_ν

und P

ν

µ

_n

(Q

_ν

) < ε ist (wobei mit µ

_n

das Lebesgue-Maß bezeichnet wird).

3.3.3. Satz

Sei Q ⊂ R

ⁿ

ein (achsenparalleler) Quader. Eine beschr¨ ankte Funktion f : Q → R ist genau dann (Riemann-)integrierbar, wenn {x ∈ Q : f nicht stetig in x} eine Nullmenge ist.

Beweis: Siehe Analysis 2/3.

Eine beschr¨ ankte Menge M ⊂ R

ⁿ

soll Integrationsbereich heißen, wenn ihr Rand eine Nullmenge ist. Jede beschr¨ ankte stetige Funktion auf M ist (Riemann- )integrierbar (denn die Menge der Unstetigkeitsstellen der trivialen Fortsetzung von f ist in ∂M enthalten).

3.3.4. Satz

Sei U ⊂ R

ⁿ

offen und K ⊂ U kompakt. Dann gibt es einen kompakten Integrati- onsbereich M mit K ⊂ M ⊂ U .

Beweis: Man ¨ uberdecke K durch endlich viele offene Kugeln B

₁

, . . . , B

_N

, deren abgeschlossene H¨ ullen in U enthalten sind. Dann kann man M := B

1

∪ . . . ∪ B

N

setzen.

3.3.5. Satz

Sei U ⊂ R

ⁿ

offen, A ⊂ U eine Nullmenge und F : U → R

ⁿ

eine differenzierbare Abbildung. Dann ist auch F(A) eine Nullmenge.

Beweis: Siehe Analysis 2/3.

3.3.6. Folgerung

Ist U ⊂ R

^m

offen, m < n und F : U → R

ⁿ

differenzierbar, so ist F(U ) eine Nullmenge im R

ⁿ

.

Beweis: Sei U b := U × {0} ⊂ R

ⁿ

und F b : U × R

^n−m

→ R

ⁿ

definiert durch F(x b

⁰

, x

⁰⁰

) := F(x

⁰

). Dann ist U b eine Nullmenge, F b differenzierbar und F( b U b ) = F(U ).

Die Behauptung folgt aus dem obigen Satz.

Definition

Sei X eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Eine Teilmenge N ⊂ X heißt Null- menge, falls ϕ(N ∩ U ) f¨ ur jede Karte (U, ϕ) eine Nullmenge im R

ⁿ

ist.

Wegen der obigen Ergebnisse ist die Definition nicht von gew¨ ahlten Karten abh¨ angig.

Das Komplement einer Nullmenge ist dicht in X.

3.3.7. Satz

Sei X eine n-dimensionale orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit.

G

₁

, . . . , G

_k

seien (offene) Integrationsbereiche im R

ⁿ

, U

₁

, . . . , U

_k

offene Mengen in X und ϕ

_i

: G

_i

→ X differenzierbare Abbildungen, so dass gilt:

1. U

_i

= ϕ

_i

(G

_i

) ist kompakt und ∂U

_i

ist eine Nullmenge, f¨ ur i = 1, . . . , k.

2. ϕ

_i

: G

_i

→ U

_i

ist ein orientierungserhaltender Diffeomorphismus, f¨ ur i = 1, . . . , k.

3. F¨ ur i 6= j ist U

_i

∩ U

_j

= ∂U

_i

∩ ∂U

_j

. Dann ist

Z

X

ω =

k

X

i=1

Z

Gi

ϕ

^∗_i

ω

f¨ ur jede n-Form ω auf X mit kompaktem Tr¨ ager in U

₁

∪ . . . ∪ U

_k

. Zum Beweis setze man alle vorangegangenen Ergebnisse zusammen.

3.3.8. Beispiel

Sei a > 1. L¨ asst man den Kreis (x

1

− a)

²

+ x

²₃

= 1 um die x

3

-Achse rotieren, so entsteht ein

” Torus“ X, eine 2-dimensionale kompakte (und orientierbare) Untermannigfaltigkeit des R

³

. Der Torus kann parametrisiert werden durch

ψ(u, v) := ((a + cos v) cos u, (a + cos v) sin u, sin v).

Dabei sei ψ auf Q := {(u, v) ∈ R

²

: 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ 2π} definiert.

Dann ist

Z

X

ω = Z

Q

ψ

^∗

ω f¨ ur jede 2-Form ω auf X.

Sei etwa ω = x

₁

dx

₂

∧ dx

₃

+ x

₂

dx

₃

∧ dx

₁

+ x

₃

dx

₁

∧ dx

₂

(worunter eigentlich die Einschr¨ ankung dieser Differentialform auf X zu verstehen ist). Dann ist

ψ

^∗

dx

₁

= −(a + cos v ) sin u du − sin v cos u dv,

ψ

^∗

dx

₂

= (a + cos v) cos u du − sin v sin u dv

und ψ

^∗

dx

₃

= cos v dv,

3.3 Integration 109

also

ψ

^∗

(dx

₁

∧ dx

₂

) = (a + cos v) sin v du ∧ dv, ψ

^∗

(dx

₃

∧ dx

₁

) = (a + cos v) sin u cos v du ∧ dv und ψ

^∗

(dx

2

∧ dx

3

) = (a + cos v) cos u cos v du ∧ dv.

und daher

ψ

^∗

ω = (1 + a

²

) cos v + a(1 + cos

²

v)

du ∧ dv und

Z

X

ω = Z

2π

0

Z

2π

0

a(1 + cos

²

v) + (1 + a

²

) cos v du

dv

= 2π

2πa + a Z

2π

0

cos

²

v dv + (1 + a

²

) Z

2π

0

cos v dv

= 6π

²

a, denn es ist

Z

2π

0

cos v dv = 0, Z

2π

0

dv = 2π und Z

2π

0

cos

²

v dv = π.

3.4 Der Satz von Stokes

Es sei H

ⁿ

:= {x = (x

₁

, . . . , x

_n

) ∈ R

ⁿ

: x

_n

≥ 0}. Dann ist

∂ H

ⁿ

= {(x

₁

, . . . , x

_n

) ∈ R

ⁿ

: x

_n

= 0}.

H

ⁿ

x

₁

, . . . , x

_n−1

x

_n

Der Halbraum H

ⁿ

werde mit der Relativtopologie versehen.

Ist U ⊂ H

ⁿ

offen, so heißt eine Funktion f : U → R differenzierbar, falls es eine offene Menge W ⊂ R

ⁿ

mit U ⊂ W und eine differenzierbare Funktion f b : W → R gibt, so dass f| b

_U

= f ist.

Definition

Ein topologischer Raum X heißt differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand, falls gilt:

1. X ist ein Hausdorffraum und erf¨ ullt das zweite Abz¨ ahlbarkeitsaxiom.

2. Zu jedem Punkt x

₀

∈ X gibt es eine Umgebung U = U (x

₀

) ⊂ X, eine offene Teilmenge W ⊂ H

ⁿ

und eine topologische Abbildung ϕ : U → W . Man spricht dann von einer Karte f¨ ur X.

3. Je zwei Karten (U, ϕ) und (V, ψ ) f¨ ur X sind differenzierbar vertr¨ aglich, d.h., ϕ ◦ ψ

⁻¹

: ψ(U ∩ V ) → ϕ(U ∩ V ) ist differenzierbar.

Ein Punkt a ∈ X heißt innerer Punkt von X, falls eine Karte (U, ϕ) mit a ∈ U existiert, so dass ϕ(U ) eine offene Teilmenge des R

ⁿ

ist. Ist a kein innerer Punkt, so nennt man a einen Randpunkt von X. Es sei Int(X) die Menge der inneren Punkte und bX die Menge der Randpunkte von X.

3.4.1. Satz

Sei X eine Mannigfaltigkeit mit Rand. Ein Punkt a ∈ X liegt genau dann in Int(X), wenn es zu jeder Karte (U, ϕ) von X mit a ∈ U eine offene Umge- bung W = W (a) ⊂ U gibt, so dass ϕ(W ) offen im R

ⁿ

ist. Insbesondere ist die Eigenschaft,

” Randpunkt von X zu sein“, unabh¨ angig von der Karte.

3.4 Der Satz von Stokes 111

Beweis: 1) Sei a ∈ Int(X) und (U, ϕ) eine Karte mit a ∈ U . M := ϕ(U ) ist eine offene Umgebung von x

₀

:= ϕ(a) in H

ⁿ

, und ϕ

⁻¹

: M → U ist eine differenzierbare Abbildung im oben definierten allgemeineren Sinne. Es gibt also eine offene Menge N ⊂ R

ⁿ

mit M ⊂ N und eine differenzierbare Abbildung % : N → X mit %|

_M

= ϕ

⁻¹

.

Sei (V, ψ) eine Karte f¨ ur X mit a ∈ V und ψ(V ) offen im R

ⁿ

(eine solche gibt es nach Definition des inneren Punktes). Die Abbildungen ψ ◦ % und ϕ ◦ ψ

⁻¹

sind (als Kartenwechsel) differenzierbare Abbildungen, und es ist

(ψ ◦ %) ◦ (ϕ ◦ ψ

⁻¹

) = ψ ◦ (% ◦ ϕ) ◦ ψ

⁻¹

= ψ ◦ ψ

⁻¹

= id,

also D(ψ◦%)(ϕ(x))◦D(ϕ◦ψ

⁻¹

)(ψ(x)) = id und damit D(ϕ◦ψ

⁻¹

)(ψ(x)) invertierbar, f¨ ur alle x ∈ U ∩ V . Nach dem Umkehrsatz gibt es offene Umgebungen P von ψ(a) und Q von ϕ(a) (jeweils im R

ⁿ

), so dass ϕ◦ ψ

⁻¹

(P ) = Q ist. W := ψ

⁻¹

(P ) ist dann eine offene Umgebung von a in U ∩ V , so dass ϕ(W ) offen im R

ⁿ

ist.

2) Erf¨ ullt a das Kriterium, so ist a offensichtlich ein innerer Punkt.

3.4.2. Satz

Ist X eine Mannigfaltigkeit mit Rand, so ist bX leer oder eine (n − 1)- dimensionale Mannigfaltigkeit. Insbesondere ist bbX = ∅ .

Beweis: Ist x

₀

∈ bX und (U, ϕ) eine Karte f¨ ur X in x

₀

, so liegt ϕ(x

₀

) in ∂ H

ⁿ

. Insbesondere ist bX ∩ U = ϕ

⁻¹

(∂ H

ⁿ

∩ ϕ(U )).

Sei π : R

ⁿ

→ R

ⁿ⁻¹

die durch π(x

₁

, . . . , x

_n

) := (x

₁

, . . . , x

n−1

) definierte Projektion.

Dann ist π ◦ ϕ|

_bX∩U

: bX ∩ U → R

ⁿ⁻¹

eine Karte f¨ ur bX. Alle diese Karten ergeben einen Atlas f¨ ur X.

Wir nennen die betrachteten Karten ϕ

” angepasst“ .

3.4.3. Beispiele

A. X := B

r

(0) ⊂ R

ⁿ

ist eine Mannigfaltigkeit mit Rand, mit bX = ∂B

r

(0).

B. Ist X

₀

eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit, so ist X := X

₀

× [0, 1] eine (n + 1)-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand. Dabei ist

bX = X

₀

× {0}

∪ X

₀

× {1}

.

Sei X eine Mannigfaltigkeit mit Rand und a ∈ bX. Mit C

₊

(a) bezeichnen wir die Menge aller differenzierbaren Funktionen f : U → R mit folgenden Eigenschaften:

1. U ist eine Umgebung von a in X.

2. f(a) = 0 und f(x) ≥ 0 f¨ ur alle x ∈ U .

Definition

Ein Tangentialvektor v ∈ T

_a

(X) heißt positiv oder innerer Normalenvektor, falls v(f) ≥ 0 f¨ ur jedes f ∈ C

₊

(a) gilt, und v(f ) > 0 f¨ ur wenigstens ein f ∈ C

+

(a).

3.4.4. Satz

Sei X eine Mannigfaltigkeit mit Rand, a ∈ bX und (U, ϕ) eine angepasste Karte f¨ ur X in a. Die lokalen Koordinaten bez¨ uglich ϕ seien mit x

₁

, . . . , x

_n

bezeichnet.

Ein Vektor v ∈ T

_a

(X) ist genau dann ein positiver Tangentialvektor in a, wenn v =

n

X

ν=1

c

_ν

∂

∂x

ν

mit c

_n

> 0 ist.

Beweis: Sei ϕ(a) = 0 und W := ϕ(U ) ⊂ H

ⁿ

. Ist f ≥ 0 auf W und f(0) = 0, so ist

∂f

∂x

_n

(0) = lim

h→0+

f (0, . . . , 0, h) − f (0, . . . , 0)

h ≥ 0.

Die Funktion g(x

₁

, . . . , x

n−1

) := f (x

₁

, . . . , x

n−1

, 0) hat im Nullpunkt ein lokales Minimum, und es ist f

xν

(0) = g

xν

(0) = 0 f¨ ur ν = 1, . . . , n − 1.

Ist also v ∈ T

₀

( R

ⁿ

), v =

n

X

ν=1

c

_ν

∂

∂x

_ν

, so ist v(f) = c

_n

· f

_xn

(0). Ist v positiv, so muss c

_n

> 0 sein. Ist umgekehrt c

_n

> 0, so ist allgemein v(f) ≥ 0 f¨ ur f ∈ C

₊

(a), und speziell v(x

n

) = c

n

> 0, also v positiv.

3.4.5. Satz

Sei X eine Mannigfaltigkeit mit Rand und a ∈ bX . Sind v

₁

, v

₂

∈ T

_a

(X) positiv, so gibt es ein λ > 0 mit v

₁

− λv

₂

∈ T

_a

(bX ).

Beweis: Man beschreibe beide Tangentialvektoren in lokalen Koordinaten, c

_n

bzw d

n

sei jeweils der Koeffizient bei ∂

∂x

_n

. Dann sind beide Zahlen > 0, und man kann ein λ > 0 finden, so dass c

_n

−λd

_n

= 0 ist. Dann ist v

₁

−λv

₂

Linearkombination von ∂

∂x

₁

, . . . , ∂

∂x

n−1

, liegt also in T

_a

(bX).

Sei N

_a

(bX) := T

_a

(X)/T

_a

(bX ) und ε

_a

: T

_a

(X) → N

_a

(bX) die kanonische Projek-

tion. F¨ ur zwei positive Tangentialvektoren v

₁

, v

₂

∈ T

_a

(X) gibt es ein λ > 0, so

dass ε(v

₁

) = λ · ε(v

₂

) ist. Die von einem positiven Tangentialvektor v induzierte

Orientierung [ε(v)] von N

_a

(bX) ist demnach eindeutig bestimmt. Man orientiert

nun bX transversal so, dass −[ε(v)] positiv orientiert ist, also eine ¨ außere Normale.

3.4 Der Satz von Stokes 113

Ist ϕ eine angepasste positiv orientierte Karte mit Koordinaten x

₁

, . . . , x

_n

, so ist

∂/∂x

_n

ein positiver Tangentialvektor. Nun gilt:

h − ∂

∂x

_n

, ∂

∂x

₁

, . . . , ∂

∂x

n−1

i = (−1)

ⁿ

h ∂

∂x

₁

, . . . , ∂

∂x

n−1

, ∂

∂x

_n

i

. Also ist

(−1)

ⁿ

h ∂

∂x

₁

, . . . , ∂

∂x

_n−1

i

die innere Orientierung von bX , die der kanonischen transversalen Orientierung ent- spricht. Fortan sei bX immer so orientiert. Dies entspricht nur dann der Standard- Orientierung des R

ⁿ⁻¹

, wenn n gerade ist (also z.B. im Falle n = 2).

r

s r r

Orientierung des Randes

x

₂

x

₁

s

− ∂

∂x

2

∂

∂x

₁

3.4.6. Satz von Stokes

Sei X eine orientierte n-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand, j : bX , → X die nat¨ urliche Einbettung, ω eine (n − 1)-Form mit kompaktem Tr¨ ager auf X.

Dann ist

Z

bX

j

^∗

ω = Z

X

dω.

Beweis: 1) Sei (U

_ι

, ϕ

_ι

)

ι∈I

ein positiv orientierter angepasster Atlas, (%

_ι

)

ι∈I

eine dazu passende Teilung der Eins. Dann ist ω = P

ι

ω

_ι

mit ω

_ι

:= %

_ι

ω, und es ist dω = P

ι

dω

_ι

und j

^∗

ω = P

ι

j

^∗

ω

_ι

. Gilt schon f¨ ur jedes ι die Gleichung R

bX

j

^∗

ω

_ι

= R

X

dω

_ι

, so ist

Z

bX

j

^∗

ω = X

ι∈I

Z

bX

j

^∗

ω

ι

= X

ι∈I

Z

X

dω

ι

= Z

X

dω.

Es gen¨ ugt also, den Fall zu betrachten, dass es eine Karte (U, ϕ) f¨ ur X mit Tr ω ⊂⊂

U gibt.

Sei ω =

n

X

i=1

a

_i

dx

₁

∧ . . . ∧ dx c

_i

∧ . . . ∧ dx

_n

die Darstellung von ω bez¨ uglich der Koordinaten x

1

, . . . , x

n

zur Karte ϕ. Dann ist

(ϕ

⁻¹

)

^∗

ω =

n

X

i=1

(a

_i

◦ ϕ

⁻¹

) dx

₁

∧ . . . ∧ dx c

_i

∧ . . . ∧ dx

_n

und

(ϕ

⁻¹

)

^∗

(dω) = d (ϕ

⁻¹

)

^∗

ω

=

n

X

i=1

(−1)

ⁱ⁻¹

∂(a

_i

◦ ϕ

⁻¹

)

∂x

_i

dx

₁

∧ . . . ∧ dx

_n

. Schließlich sei noch Q = [a, b]

ⁿ

⊂ R

ⁿ

ein Quader mit Tr (ϕ

⁻¹

)

^∗

ω

⊂⊂ Q.

2) Fall (a): Es sei bX ∩ U = ∅ . Dann ist Z

bX

j

^∗

ω = 0 und Z

X

dω = Z

ϕ(U)

(ϕ

⁻¹

)

^∗

(dω)

= Z

ϕ(U) n

X

i=1

(−1)

ⁱ⁻¹

∂ (a

_i

◦ ϕ

⁻¹

)

∂x

i

dx

₁

∧ . . . ∧ dx

_n

=

n

X

i=1

(−1)

ⁱ⁻¹

Z

Q

∂ (a

_i

◦ ϕ

⁻¹

)

∂x

_i

dx

₁

. . . dx

_n

=

n

X

i=1

(−1)

ⁱ⁻¹

Z

b

a

. . . Z

b

a

∂ (a

_i

◦ ϕ

⁻¹

)

∂x

_i

dx

₁

. . . dx

_n

= 0.

Das folgt aus dem Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung, da a

_i

◦ ϕ

⁻¹

auf ∂Q verschwindet.

Fall (b): Nun sei bX ∩ U 6= ∅ . Dann ist ϕ(U ) ⊂ H

ⁿ

und ϕ(U ) ∩ {x ∈ H

ⁿ

: x

_n

= 0} 6= ∅ . Es ist

Z

X

dω =

n

X

i=1

(−1)

ⁱ⁻¹

Z

ϕ(U)

∂(a

_i

◦ ϕ

⁻¹

)

∂x

_i

dx

₁

. . . dx

_n

, und f¨ ur i = 1, . . . , n − 1 ist

Z

ϕ(U)

∂(a

_i

◦ ϕ

⁻¹

)

∂x

_i

dx

₁

. . . dx

_n

= 0, das folgt mit dem gleichen Argument wie oben.

F¨ ur i = n ist ∂(a

_n

◦ ϕ

⁻¹

)

∂x

n

nur auf [0, ∞) erkl¨ art und Z

ϕ(U)

∂(a

_n

◦ ϕ

⁻¹

)

∂x

_n

dx

₁

. . . dx

_n

= Z

Rⁿ⁻¹×[0,∞)

∂(a

_n

◦ ϕ

⁻¹

)

∂x

_n

dx

₁

. . . dx

n−1

dx

_n

= −

Z

Rⁿ⁻¹

a

n

◦ ϕ

⁻¹

(x

1

, . . . , x

n−1

, 0) dx

1

. . . dx

n−1

,

also Z

X

dω = (−1)

ⁿ

Z

Rⁿ⁻¹

a

_n

◦ ϕ

⁻¹

(x

₁

, . . . , x

_n−1

, 0) dx

₁

. . . dx

_n−1

.

Ist ϕ e := ϕ|

bX∩U

: bX ∩ U → ∂ H

ⁿ

∩ ϕ(U ) die induzierte Karte f¨ ur den Rand und

J : ∂ H

ⁿ

, → H

ⁿ

die nat¨ urliche Einbettung, so ist

3.4 Der Satz von Stokes 115

j ◦ ϕ e

⁻¹

= ϕ

⁻¹

◦ J und

Z

bX

j

^∗

ω = Z

ϕ(bX∩U)

( ϕ e

⁻¹

)

^∗

(j

^∗

ω) = Z

ϕ(bX∩U)

(j ◦ ϕ e

⁻¹

)

^∗

ω = Z

ϕ(bX∩U)

(ϕ

⁻¹

◦ J)

^∗

ω.

Es ist

pr

_i

◦ J(x

₁

, . . . , x

n−1

) = pr

_i

(x

₁

, . . . , x

n−1

, 0) =

x

_i

f¨ ur i = 1, . . . , n − 1, 0 f¨ ur i = n.

und damit

(j◦ ϕ e

⁻¹

)

^∗

dx

_i

= (ϕ

⁻¹

◦J)

^∗

dx

_i

= d(x

_i

◦ϕ

⁻¹

◦J) = d(pr

_i

◦J ) =

dx

_i

f¨ ur i = 1, . . . , n − 1, 0 f¨ ur i = n.

Daraus folgt:

(j ◦ ϕ e

⁻¹

)

^∗

(dx

1

∧ . . . ∧ dx c

i

∧ . . . ∧ dx

n

) =

dx

1

∧ . . . ∧ dx

n−1

falls i = n,

0 sonst.

und

(j ◦ ϕ e

⁻¹

)

^∗

ω = a

_n

◦ ϕ

⁻¹

(x

₁

, . . . , x

n−1

, 0) dx

₁

∧ . . . ∧ dx

n−1

.

Da sich definitionsgem¨ aß die Orientierung von bX von der kanonischen Orientierung des R

ⁿ⁻¹

um den Faktor (−1)

ⁿ

unterscheidet, folgt:

Z

bX

j

^∗

ω = (−1)

ⁿ

Z

Rⁿ⁻¹

a

_n

◦ ϕ

⁻¹

(x

₁

, . . . , x

n−1

, 0) dx

₁

. . . dx

n−1

. Damit ist alles gezeigt.

3.4.7. Folgerung

Ist X eine orientierte n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) und ω eine (n − 1)-Form mit kompaktem Tr¨ ager auf X, so ist

Z

X

dω = 0.

3.4.8. Satz

Sei X eine kompakte, orientierte, n-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand.

Dann gibt es keine differenzierbare Abbildung r : X → bX mit r|

_bX

= id.

Beweis: bX ist eine (n − 1)-dimensionale orientierte Mannigfaltigkeit. Sei ω eine (n − 1)-Form auf bX mit R

bX

ω 6= 0 (l¨ asst sich leicht konstruieren, weil ω nur auf

einer Koordinatenumgebung definiert werden muss). F¨ ur die Inklusionsabbildung

i : bX , → X gelte r ◦ i = id

_bX

. Dann ist r

^∗

ω eine (n − 1)-Form auf X und

Z

bX

ω = Z

bX

(r ◦ i)

^∗

ω = Z

bX

i

^∗

(r

^∗

ω) = Z

X

d(r

^∗

ω) = Z

X

r

^∗

(dω) = 0,

denn aus Dimensionsgr¨ unden verschwindet bereits die n-Form dω auf bX . Das ergibt einen Widerspruch!

3.4.9. (Differenzierbarer) Brouwer’scher Fixpunktsatz

Sei K := B

₁

(0) die abgeschlossene Einheitskugel im R

ⁿ

, f : K → R

ⁿ

eine differenzierbare Abbildung mit f (K) ⊂ K. Dann besitzt f einen Fixpunkt.

Beweis: 1) Sei zun¨ achst n = 1. Dann betrachten wir die Funktion g : [−1, 1] → R mit g(x) := x − f(x). Ist f (−1) = −1 oder f (1) = 1, so sind wir fertig. Weil auf jeden Fall f(−1) ≥ −1 und f(1) ≤ 1 ist, ist g(1) = 1 − f (1) ≥ 0 und g(−1) ≤ 0.

Wir brauchen nur noch den Fall g(−1) < 0 und g(1) > 0 zu betrachten. Aber dann besagt der Zwischenwertsatz, dass ein x

₀

∈ [−1, 1] mit g(x

₀

) = 0 existiert, also f (x

₀

) = x

₀

.

2) Sei nun n ≥ 2. Wir nehmen an, dass f keinen Fixpunkt besitzt. Dann wird durch u(x) := x − f (x)

kx − f (xk

eine differenzierbare Abbildung u : K → S

ⁿ⁻¹

definiert, und man kann eine Abbil- dung t : K → R mit t(x) ≥ 0 finden, so dass kx + t(x) · u(x)k = 1 ist.

Sei g(x) := x + t(x) · u(x). Anschaulich erh¨ alt man g, indem man die Strecke von f (x) nach x uber ¨ x hinaus so weit verl¨ angert, dass sie die Sph¨ are trifft.

r g(x)

x r

f (x) r

Bildet man das Skalarprodukt von g(x) mit sich selbst, so erh¨ alt man eine quadra- tische Gleichung f¨ ur t = t(x), n¨ amlich

1 = kxk

²

+ t

²

+ 2t · x

^•

u(x).

Die Aufl¨ osung der Gleichung ergibt t(x) = −x

^•

u(x) + p

1 − kxk

²

+ (x

^•

u(x))

²

.

Dass der Radikand positiv ist und ein Minuszeichen vor der Wurzel nicht in Frage

kommt, ist klar, wenn kxk < 1 ist. Ist kxk = 1, so gibt es (weil auf jeden Fall f (x) 6=

3.4 Der Satz von Stokes 117

x ist) zwei M¨ oglichkeiten: Entweder ist f (x) = −x, u(x) = x und x

^•

u(x) = 1, also 1 − kxk

²

+ (x

^•

u(x))

²

= 1 und t(x) = −1 ± 1, oder x und f (x) sind linear unabh¨ angig. Im letzteren Fall folgt aus der Ungleichung von Cauchy-Schwarz, dass

|x

^•

f (x)| < kxk · kf (x)k = kf (x)k ≤ 1 ist, also x

^•

u(x) > 0 und 0 < 1 − kxk

²

+ (x

^•

u(x))

²

= |x

^•

u(x)|

²

.

Damit h¨ angt t und insbesondere g differenzierbar von x ab. F¨ ur x ∈ S

ⁿ⁻¹

ist t(x) = 0, also g(x) = x. Das ist ein Widerspruch zur Aussage von Satz 3.4.8, wenn man g : K → S

ⁿ⁻¹

als Retraktion r auffasst.

Definition

Sei I := [0, 1]. Zwei differenzierbare Abbildungen f , g : X → Y zwischen Man- nigfaltigkeiten heißen differenzierbar homotop, falls eine differenzierbare Ab- bildung F : I × X → Y mit F(0, x) = f (x) und F(1, x) = g(x) existiert. Die Abbildung F nennt man eine (differenzierbare) Homotopie.

Ist X eine kompakte, orientierte Mannigfaltigkeit, so ist R ×X eine Mannigfaltigkeit und I × X eine kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand. Der Rand b(I × X) ist Vereinigung der Untermannigfaltigkeiten X

0

:= {0} × X und X

1

:= {1} × X (wenn die erste mit der Orientierung von X versehen wird, die zweite aber mit der entgegengesetzten Orientierung).

3.4.10. Satz

Sei X eine kompakte, n-dimensionale, orientierte Mannigfaltigkeit. Sind f , g : X → Y zwei homotope differenzierbare Abbildungen in eine weitere Mannigfal- tigkeit Y , so gilt f¨ ur jede n-Form ω auf Y mit dω = 0 :

Z

X

f

^∗

ω = Z

X

g

^∗

ω.

Beweis: Sei F : I × X → Y die Homotopie zwischen f und g. Dann ist Z

X

f

^∗

ω − Z

X

g

^∗

ω = Z

X0

F

^∗

ω − Z

X1

F

^∗

ω

= Z

b(I×X)

F

^∗

ω = Z

I×X

d(F

^∗

ω)

= Z

I×X

F

^∗

(dω) = 0.

Eine nette Folgerung ist der

3.4.11. Satz vom Igel

Auf der Sph¨ are S

ⁿ⁻¹

gibt es genau dann ein stetig differenzierbares Vektorfeld ohne Nullstellen, wenn n gerade ist.

Insbesondere hat jedes stetig differenzierbare Vektorfeld auf S

²

eine Nullstelle ( ” Jeder glatt gek¨ ammte Igel hat wenigstens einen Glatzpunkt“).

Beweis: 1) Ist n = 2m, so wird durch

ξ(x

₁

, . . . , x

_m

; x

_m+1

, . . . , x

_2m

) := (−x

_m+1

, . . . , −x

_2m

; x

₁

, . . . , x

_m

)

ein nirgends verschwindendes (stetig differenzierbares) Vektorfeld auf S

ⁿ⁻¹

gege- ben.

2) Sei n = 2m+1 und τ : S

ⁿ⁻¹

→ S

ⁿ⁻¹

die

” Antipodenabbildung“ mit τ (x) := −x.

Wir nehmen an, es gibt ein stetig differenzierbares Vektorfeld ξ ohne Nullstellen auf S

ⁿ⁻¹

. Man kann annehmen, dass kξ(x)k ≡ 1 ist. Damit ist ξ eine stetig dif- ferenzierbare Abbildung von S

ⁿ⁻¹

auf sich. Definiert man F : I × S

ⁿ⁻¹

→ S

ⁿ⁻¹

durch

F(t, x) := (cos πt)x + (sin πt)ξ(x),

so ist F(0, x) = x und F(1, x) = −x, also F eine Homotopie zwischen id und τ . Auf S

ⁿ⁻¹

ist eine (n − 1)-Form σ gegeben durch

σ =

n

X

i=1

x

_i

(−1)

ⁱ⁺¹

dx

₁

∧ . . . ∧ dx c

_i

∧ . . . ∧ dx

_n

. Wir werden im n¨ achsten Paragraphen sehen, dass R

Sⁿ⁻¹

σ 6= 0 ist. Dann ist τ

^∗

σ =

n

X

i=1

(−x

_i

)(−1)

ⁱ⁺¹

d(−x

₁

) ∧ . . . ∧ dx c

_i

∧ . . . ∧ d(−x

_n

) = (−1)

ⁿ

σ, also

0 6=

Z

Sⁿ⁻¹

σ = Z

Sⁿ⁻¹

τ

^∗

σ = (−1)

ⁿ

Z

Sⁿ⁻¹

σ = − Z

Sⁿ⁻¹

σ.

Das ist ein Widerspruch.