”nach dem Homomorphiesatz f ¨ur Gruppen”, ”nach Satz 2.3.4

MfI: AlgebraischeStrukturen– Probeklausur TU Kaiserslautern

Jun.-Prof. Dr. CarolineLassueur Dipl.-Math. RuwenHollenbach

Di. 5. Februar 2019, 13:45–15:15 WS 2018/19

Alle nicht offensichtlichen Rechen-/Beweisschritte sind zu begr ¨unden. Resultate und Aussagen aus Vorlesung und ¨Ubungen d ¨urfen benutzt werden, m ¨ussen dazu aber konkret benannt (z.B. ”nach dem Homomorphiesatz f ¨ur Gruppen”,

”nach Satz 2.3.4”,. . . ) oder formuliert werden.

Problem1 (3 Punkte).

Geben Sie die Wahrheitstafel der folgenden logischen Formel an:

(A =⇒ B) =⇒ (B =⇒ A) Ist diese Formel eine Tautologie, erf ¨ullbar oder unerf ¨ullbar?

Problem2 (2+2 Punkte).

Bestimmen Sie ggT(104,47) und die Darstellung

ggT(104,47)=u·104+v·47, mitu,v∈Z mithilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus.

Problem3 (3+2 Punkte).

(a) Betrachten Sie die Permutationen σ1 = 1 2 3 4 5 6

2 1 4 5 6 3

!

und σ2= 1 2 3 4 5 6 3 5 1 6 4 2

!

inS₆. Bestimmen Sie f ¨ur die Permutationσ1◦σ2:

(i) die Darstellung als Komposition von disjunkten Zykeln;

(ii) die Darstellung als Komposition von Transpositionen; und (iii) das Signum.

(b) Seiσ∈S6gegeben. Zeigen Sie, dass die Menge

C_σ:={τ∈S₆ |τ◦σ◦τ⁻¹ =σ} eine Untergruppe vonS₆ist.

Problem4 (3+2 Punkte).

(a) Bestimmen Sie alle Einheiten und alle Nullteiler des RingesZ/21.

(b) Existiert ein Gruppen-Homomorphismus f :Z/7−→Z/21 mit f(1)=4 ?

Problem5 (2+6 Punkte).

(a) Bestimmen Sie, welche der folgenden Mengen Untervektorr¨aume vonR³sind:

(i) {(x₁,x₂,x₃)∈R³|3·x₁=2·x₂=x₃}; (ii) {(x₁,x2,x3)∈R³|x²₁+x²₃ =4}. (b) Zeigen Sie, dass die Abbildung

F: R⁴ −→ R⁵

x1

x2

x3

x₄

! 7→











x1+x2+x4

2x₁−x₂−x₃+3x4

2x2−2x3+x4

3x1+x2−x3+4x4

−x1−7x2−2x3+x4











einR-Vektorraum-Homomorphismus ist. Bestimmen Sie außerdem eine Basis von ker(F) und bestimmen Sie die Dimension von Bild(F).