Wend Werner
wwerner@uni-muenster.de
Thomas Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Mathematik f¨ur Physiker 2
Ubungsblatt 9, Abgabe bis 30. Juni 12 Uhr¨
Pr¨asenzaufgabe 1. (Eigenwerte, Eigenr¨aume und lineares DGL-Systeme 1. Ordnung) Bestimmen Sie f¨ur die Matrix
A=
11 −18 9 6 −10 6
0 0 2
(a) das charakteristische Polynom, (b) die Eigenwerte,
(c) die Eigenr¨aume,
(d) die allgemeine L¨osung der linearen DGL y0(t) =Ay(t) .
L¨osung: (a) Die Matrix hat Block-Gestalt; diese Beobachtung oder die Sarrus-Regel liefern
χA(A) = (2−λ)((11−λ)(−10−λ) + 18·6)
= (2−λ)(λ2−λ+ 108−110)
= (2−λ)(λ2−λ−2).
(b) Die Eigenwerte sind somitλ1=λ2 = 2 undλ3 =−1.
(c) Wir rechnen
A−λ3 =
12 −18 9
6 −9 6
0 0 1
.
Der Kern dieser Matrix wird offenbar aufgespannt durch v3 = 3 2 0>
. Wir rechnen weiter
A−λ1,2E3=
9 −18 9 6 −12 6
0 0 0
.
Der Kern wird offenbar aufgespannt durch v1 = 1 0 −1>
, v2 = 1 1 1>
.
(d) Die allgemeine L¨osung ist also von der Form
y(t) = e2t(c1v1+c2v2) + e−tc3v3 mitc1, c2, c3 ∈C.
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