Finde u : Ω → R mit

Analysis partieller Differentialgleichungen

Dominic Breit

Bruck am Ziller / Dec 15th 2012

Laplace-Gleichung

Finde u : Ω → R mit

−∆u = f in Ω, u = 0 in ∂Ω.

Hier Ω ⊂ R ⁿ beschr¨ ankt, f : Ω → R ¨ außere Kraft.

• Existenz,

• Eindeutigkeit,

• Regularit¨ at,

von L¨ osungen?

Klassische L¨ osungen

Finde u : C ² (Ω) ∩ C ⁰ (Ω) mit

−∆u = f in Ω, u = 0 in ∂Ω.

Hier Ω ⊂ R ⁿ beschr¨ ankt, f ∈ C ⁰ (Ω) ¨ außere Kraft.

⇒ Methode von Perron.

• Aufwendig,

• l¨ asst sich nicht auf kompliziertere Gleichungen ¨ ubertragen.

Schwache L¨ osungen

Finde u ∈ X mit Z

Ω

∇u · ∇v dx = Z

Ω

f v dx f¨ ur alle v ∈ X . W¨ ahle X , so dass

hu, vi :=

Z

Ω

∇u · ∇v dx

wohldefiniert ist und (X , p

h·, ·i) vollst¨ andig ist.

⇒ Hilbertraum-Theorie!

L¨ osungsraum (1)

Erster Ansatz:

X :=

v ∈ C ¹ (Ω) : v| _∂Ω = 0 .

• h·, ·i ist wohldefiniert auf X .

• (X , p

h·, ·i) ist nicht vollst¨ andig.

Siehe dazu (C ⁰ (Ω), p

(·, ·)) mit (u, v) :=

Z

Ω

u v dx.

L¨ osungsraum (2)

Zweiter Ansatz:

X := W ₀ ^1,2 (Ω) :=

v : Ω → R : Z

Ω

|∇v| ² dx < ∞, v | _∂Ω = 0

.

⇒ (X , p

h·, ·i) ist vollst¨ andig!

u heißt schwach diff’bar in Richtung γ ∈ {1, ..., n}, falls Z

Ω

u ∂ γ ϕ dx = − Z

Ω

v γ ϕ dx f¨ ur alle ϕ ∈ C ₀ ^∞ (Ω)

f¨ ur ein v _γ ∈ L ¹ _loc (Ω).

L¨ osung mit Riesz

Theorem

Sei X ein Hilbertraum und L ∈ X ⁰ . Dann gibt es genau ein u ∈ X mit hu, v i = L(v) f¨ ur alle v ∈ X .

Sei f ∈ L ² (Ω) ⇒ L(v) := R

Ω f v dx liegt in X ⁰ .

⇒ es existiert genau ein u ∈ W ₀ ^1,2 (Ω) mit Z

Ω

∇u · ∇v dx = Z

Ω

f v dx f¨ ur alle v ∈ W ₀ ^1,2 (Ω).

Motivation

• Sobolev-Funktionen haben i.a. sehr schlechte Eigenschaften sind z.B.

unbeschr¨ ankt.

• Ist die schwache L¨ osung eine L¨ osung im klassischen Sinn?

• Konvergenz von numerischen Algorithmen:

ku _h − uk ²

W

(Ω) ≤ ch ^2k k∇ ^k uk ² _L

(Ω) .

u _h ist eine approximative L¨ osung (FEM).

W ^2,2 -Regularit¨ at

Testen mit ∆u = P

γ ∂ _γ ² u ergibt X

γ

Z

Ω

∂ γ ∇u · ∂ γ ∇u dx = − Z

Ω

f ∆u dx ≤ Z

Ω

|f ||∆u| dx

≤ 1 2

Z

Ω

|f | ² dx + 1 2

Z

Ω

|∆u| ² dx

≤ 1 2

Z

Ω

|f | ² dx + 1 2

Z

Ω

|∇ ² u| ² dx.

Isgesamt also

Z

Ω

|∇ ² u| ² dx ≤ Z

Ω

|f | ² dx,

2,2

H¨ ohere-Regularit¨ at

• n = 3: W ^2,2 (Ω) , → W ^1,6 (Ω) , → C ⁰ (Ω) nach Sobolev.

• ∇f ∈ L ² (Ω) ergibt ∂ γ u l¨ ost

−∆(∂ _γ u

= ∂ γ f ⇒ Z

Ω

|∇ ³ u| ² dx ≤ Z

Ω

|∇f | ² dx , d.h. u ∈ W ^2,2 (Ω).

• Iteration ergtibt: f ∈ W ^k,2 (Ω) ⇒ u ∈ W ^k+2,2 (Ω).

• f ∈ C ^∞ (Ω) ⇒ u ∈ C ^∞ (Ω) (u klassische L¨ osung!).

Elliptische Gleichungen

Finde u : Ω → R ³ , π : Ω → R mit

− div A(x)∇u

= 0 in Ω, u = g in ∂Ω.

Mit A : Ω → R ^n×n elliptisch und g gegeben (regul¨ ar).

• Existenz und Eindeutigkeit mit Lax-Milgram.

• A ∈ L ^∞ (Ω) ergibt u ∈ C ^0,α (Ω).

• A ∈ C ^0,1 (Ω) ergibt u ∈ W ^2,2 (Ω).

• A ∈ C ^0,1 (Ω) ergibt u ∈ C ^1,α (Ω).

Station¨ are Navier Stokes-Gleichung

Finde u : Ω → R ³ , π : Ω → R mit

−∆u + (∇u )u = ∇π + f in Ω,

div u = 0 in Ω,

u = 0 in ∂Ω.

Hier Ω ⊂ R ³ beschr¨ ankt, f : Ω → R ¨ außere Kraft.

• Fluidmechanik: v Geschwindigkeitsfeld, π Druck.

• Existenz und Regularit¨ at von L¨ osungen.

Station¨ are p -Navier Stokes-Gleichung

Finde u : Ω → R ³ , π : Ω → R mit

− div |∇u| ^p−2 ∇u

+ (∇u)u = ∇π + f in Ω,

div u = 0 in Ω,

u = 0 in ∂Ω.

Hier Ω ⊂ R ³ beschr¨ ankt, f : Ω → R ¨ außere Kraft, p ∈ (1, ∞).

• Nicht-Newtonsche Fl¨ ussigkeiten (Ketschup, Wasser-St¨ arke-Mischung).

• Existenz und Regularit¨ at von L¨ osungen h¨ angt von p ab.