1) Sei Ω ⊂ E 2 ' C ein Gebiet und es sei u ∈ C 2 (Ω) eine harmonische Funktion.

Ubungsaufgaben: Partielle Differentialgleichungen I ¨ Serie 4

Prof. Dr. H.-Ch. Grunau , PD Dr. B. Rummler Wintersemester 2020/21

1) Sei Ω ⊂ E ² ' C ein Gebiet und es sei u ∈ C ² (Ω) eine harmonische Funktion.

Gegeben sei auch eine regul¨ are Kurve γ ⊂ Ω, die ein stetiges Normaleneinheitsvek- torfeld ν(x, y), [x, y] ^T ∈ γ hat. Schließlich gelte:

u(x, y ) = ∂u

∂ν (x, y) = 0 f¨ ur alle [x, y] ^T ∈ γ.

Zeigen Sie, dass f¨ ur alle [x, y] ^T ∈ Ω gilt: u(x, y) = 0.

Hinweis. Aufgabe 3.3 und ein Zusammenhangsargument.

2) (a) Sei u : E ⁿ → E ¹ zweimal stetig differenzierbar und radialsymmetrisch, d.h. es existiert eine Funktion ˆ u : [0, ∞) → E ¹ , so dass

∀ x ∈ R ⁿ : u(x) = ˆ u(||x|| _E

).

Beweisen Sie, dass ˆ u ∈ C ² ([0, ∞)) und dass mit r = ||x|| _E

gilt:

(∆u)(x) = ∂ ²

∂r ² + n − 1 r

∂

∂r

ˆ u(r).

(b) Sei u : E ² → E ¹ zweimal stetig differenzierbar. Man definiere v(r, ϕ) = u(r cos ϕ, r sin ϕ), r ≥ 0, ϕ ∈ R . Zeigen Sie, dass

(∆u)(r cos ϕ, r sin ϕ) = ∂ ² v

∂r ² (r, ϕ) + 1 r

∂v

∂r (r, ϕ) + 1 r ²

∂ ² v

∂ϕ ² (r, ϕ).

3) F¨ ur die Bearbeitung von Aufgabe 4.4 d¨ urfen Sie das folgende Resultat ohne Beweis verwenden.

Satz 4.3 Sei 1 ≤ p < ∞ und Ω ⊂ E ⁿ eine nichtleere konvexe beschr¨ ankte offene Menge. Dann existiert eine positive Konstante C, die nur von ˜ p und Ω abh¨ angt, so dass f¨ ur alle u ∈ C ¹ (Ω) gilt:

ku − uk _L

_(Ω) ≤ Ck∇uk ˜ _L

_(Ω) ; dabei bezeichnet

u = 1

|Ω|

Z

Ω

u(y) dy .

den Mittelwert von u auf Ω.

- - - – - - - -

Bitte wenden!!!

4) Sei Ω ⊂ E ⁿ eine nichtleere konvexe beschr¨ ankte regul¨ are offene Menge mit ¨ außerer Ein- heitsnormale ν. F¨ ur ϕ ∈ C ² (Ω) sei u ∈ C ² ([0, ∞)×Ω) eine L¨ osung der W¨ armeleitungs- gleichung unter Neumannrandbedingungen:



 

 

 

 

u _t − ∆u = 0 in [0, ∞) × Ω,

∂u

∂ν (t, x) = 0 f¨ ur (t, x) ∈ [0, ∞) × ∂Ω, u(0, x) = ϕ(x) f¨ ur x ∈ Ω.

(a) Zeigen Sie, dass f¨ ur alle t ≥ 0 gilt:

Z

Ω

u(t, x) dx = Z

Ω

ϕ(x) dx.

(b) Wie oben bezeichne

ϕ = 1

|Ω|

Z

Ω

ϕ(y) dy

den Mittelwert von ϕ auf Ω. Zeigen Sie, dass es eine nur von Ω abh¨ angige Konstante C = C(Ω) > 0 gibt, so dass f¨ ur alle t ≥ 0 gilt:

ku(t, . ) − ϕk ²

L

(Ω) ≤ e ^−Ct kϕ( . ) − ϕk ²

L

(Ω) . 5) Sei f ∈ C ⁰ ( R ⁿ ) radialsymmetrisch und integrierbar mit R

E

f(x)dx = 1. Zeigen Sie, dass f¨ ur jede harmonische Funktion u ∈ C ² ( R ⁿ ) gilt:

∀ x ∈ E ⁿ : u(x) = lim

R→∞

Z

B

(x)

u(y)f (x − y) dy.

Hinweis. Mittelwerteigenschaft f¨ ur harmonische Funktionen.

6) Sei Ω ⊂ E ⁿ offen.

(a) Sei u ∈ C ² (Ω) eine harmonische Funktion. Zeigen Sie, dass f¨ ur jedes x _o ∈ Ω und 0 < R < dist(x _o , ∂Ω) gilt:

||∇u(x _o )|| _E

≤ n

R max

x∈∂B

(x

) |u(x) − u(x _o )|.

Hinweis. Differenzieren Sie die Mittelwerteigenschaft f¨ ur harmonische Funktio- nen und verwenden Sie den Satz von Gauß.

(b) Sei u ∈ C ² ( R ⁿ ) eine harmonische Funktion. Zeigen Sie: Ist u zudem in ganz R ⁿ beschr¨ ankt, so ist u konstant.

(c) Verwenden Sie die Argumente aus dem Beweis von Teil (a), um zu zeigen: Jede

harmonische Funktion u ∈ C ² (Ω) ist beliebig oft differenzierbar.