Es sei X eine Menge. Eine Familie von Elementen von X ist eine Abbildung I → X , i 7→ x i .

Lineare Abh¨ angigkeit

In den meisten F¨ allen werden wir es mit einer endlichen Familie von Vek- toren zu tun haben. Manchmal ist es aber auch erforderlich, eine be- liebig große Familie von Vektoren zu betrachten. Daf¨ ur brauchen wir eine geeignete Notation.

Es sei X eine Menge. Eine Familie von Elementen von X ist eine Abbildung I → X , i 7→ x i .

I heißt dabei Indexmenge . Man verwendet dabei oft die Schreibweise (x _i ) _{i ∈ I} oder (x _i ) .

Man beachte dabei, dass f¨ ur i ̸ = j auch x _i = x _j sein kann.

Ist J ⊆ I , dann heißt (x _i ) _{i ∈ J} eine Teilfamilie von (x _i ) . F¨ ur I = ∅ heißt die Familie leer.

Ist I eine n-elementige Menge, etwa I = { 1, 2, ..., n } , dann entspricht einer Familie I → X genau ein (geordnetes) n-Tupel (x 1 , x 2 , ..., x n ) von Elementen von X .

Ist I = N , so erh¨ alt man eine Folge von Elementen von X .

Definition. Sei V ein K -Vektorraum und (v ₁ , v ₂ , ..., v _r ) eine Familie von Vektoren aus V .

v ∈ V heißt Linearkombination der Vektoren (v 1 , v 2 , ..., v r ) , wenn

∃ λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _r ∈ K sodass v = λ ₁ v ₁ + λ ₂ v ₂ + ... + λ _r v _r .

(Man sagt auch kurz: v ist Linearkombination der v ₁ , v ₂ , ..., v _r )

Bemerkung. Ist W ▹ V und v ₁ , v ₂ , ..., v _r ∈ W , dann liegt jede Linearkombination der v ₁ , v ₂ , ..., v _r wieder in W .

Beispiel. Sei V = R ³ , v 1 = (1, 0, 0) und v 2 = (0, 1, 0) .

Dann ist etwa v = (2, 8, 0) eine Linearkombination von v ₁ , v ₂ , weil v = 2v ₁ + 8v ₂ .

Hingegen ist (0, 0, 3) keine Linearkombination von v 1 , v 2 .

Definition. Sei V ein K -Vektorraum und (v _i ) _{i ∈ I} eine Familie von Vektoren aus V .

Wir betrachten alle Vektoren v ∈ V , die sich als Linearkombination von endlich vielen Vektoren aus (v _i ) _{i ∈ I} darstellen lassen, und fassen diese Vektoren in der Teilmenge Span(v _i ) _{i ∈ I} zusammen.

Span(v _i ) _{i ∈ I} heißt der von (v _i ) _{i ∈ I} aufgespannte Raum .

Somit gilt : v ∈ Span(v _i ) _{i ∈ I} ⇔ ∃ v _i

, v _i

, ..., v _i

aus (v _i ) _{i ∈ I} , ∃ λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _r ∈ K mit v = λ ₁ v _i

+ λ ₂ v _i

+ ..., λ _r v _i

.

Im besonderen ist v _j ∈ Span(v _i ) _{i ∈ I} f¨ ur jedes j ∈ I .

Bemerkungen.

• Ist I = ∅ , dann ist per definition Span(v _i ) _{i ∈ I} = { 0 } .

• Ist I endlich, etwa I = { 1, 2, ..., r } , dann gilt offenbar Span(v ₁ , v ₂ , ..., v _r ) = K v ₁ + K v ₂ + ... + K v _r =

= { v ∈ V : ∃ λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _r ∈ K mit v = λ ₁ v ₁ + λ ₂ v ₂ + ... + λ _r v _r }

Beispiel. Sei V = Abb( R , R ) . Seien f, g, h ∈ V wobei f (t) = t ³ , g(t) = e ^t und h(t) = cos t .

Span(f, g, h) besteht dann aus allen Abbildungen R → R der Form t → λ ₁ t ³ + λ ₂ e ^t + λ ₃ cos t .

So liegt etwa − 5t ³ + 3e ^t + 2cos t in Span(f, g, h) .

Satz. Sei V ein K -Vektorraum und (v i ) i ∈ I eine Familie von Vektoren

aus V .

Dann ist Span(v _i ) _{i ∈ I} der kleinste Untervektorraum von V , der alle v _i enth¨ alt.

Beweis. Wie schon zuvor erw¨ ahnt, liegen alle v _j in Span(v _i ) . (i) Span(v i ) ▹ V

Seien v, w ∈ Span(v _i ) . Dann gibt es endliche Teilmengen J ₁ , J ₂ ⊆ I so- dass v Linearkombination der Vektoren (v _i ) _{i ∈ J}

ist, und w Linearkombi- nation der Vektoren (v _i ) _{i ∈ J}

ist. Damit ist aber v + w Linearkombination der Vektoren (v _i ) _{i ∈ J}

_{∪ J}

, also v + w ∈ Span(v _i ) .

F¨ ur λ ∈ K ist in analoger Weise λv ∈ Span(v i ) .

(ii) Sei W ▹ V mit v _i ∈ W f¨ ur alle i ∈ I . Wie schon zuvor vermerkt, liegt dann auch jede endliche Linearkombination von (v _i ) _{i ∈ I} in W . Dies heißt aber, dass Span(v _i ) ⊆ W und somit ist Span(v _i ) _{i ∈ I} der kleinste Untervektorraum von V , der alle v _i enth¨ alt.

Bemerkung. Span(v _i ) _{i ∈ I} ist also der von den Vektoren (v _i ) erzeugte Untervektorraum.

Sind U, W ▹ V , dann gilt: U + W = Span(U ∪ W ) . (Beweis: ¨ Ubung)

Definition. Sei V ein K -Vektorraum.

1) Eine endliche Familie (v 1 , v 2 , . . . , v r ) heißt linear unabh¨ angig, wenn gilt

λ ₁ v ₁ + λ ₂ v ₂ + . . . + λ _r v _r = 0 ⇒ λ ₁ = 0 , λ ₂ = 0 , . . . , λ _r = 0

(D.h. der Nullvektor kann mittels (v ₁ , v ₂ , ...v _r ) nur als triviale Linear- kombination dargestellt werden.)

2) Eine (beliebige) Familie (v _i ) _{i ∈ I} heißt linear unabh¨ angig, wenn jede endliche Teilfamilie linear unabh¨ angig ist.

3) Eine Familie (v _i ) _{i ∈ I} heißt linear abh¨ angig, wenn sie nicht linear

unabh¨ angig ist.

(Dies wiederum heißt: es gibt eine endliche Teilfamilie (v _i

, v _i

, . . . , v _i

) und λ ₁ , λ ₂ , . . . , λ _r ∈ K mit (λ ₁ , λ ₂ , . . . , λ _r ) ̸ = (0, 0, . . . , 0) und

λ ₁ v _i

+ λ ₂ v _i

+ . . . + λ _r v _i

= 0 .

Anders gesagt: der Nullvektor kann als nichttriviale Linearkombination dargestellt werden.)

Anmerkung. (i) Bei endlichen Familien sagt man meist: die Vektoren v 1 , v 2 , ..., v r sind linear unabh¨ angig (bzw. linear abh¨ angig) statt: die Familie (v 1 , v 2 , ..., v r ) ist linear unabh¨ angig (bzw. linear abh¨ angig).

(ii) Die leere Familie (I = ∅ ), welche { 0 } aufspannt, wird per definition als linear unabh¨ angig festgesetzt.

Beispiele. Sei V = R ³ .

1) Betrachte v ₁ = (1, 2, − 1) , v ₂ = (3, 6, − 3) , v ₃ = (3, 9, 3) .

v 1 , v 2 , v 3 sind linear abh¨ angig, weil 3v 1 + ( − 1)v 2 + 0 · v 3 = 3v 1 − v 2 = 0 . Bzw. v ₂ = 3v ₁ .

2) Betrachte v ₁ = (3, 0, 0) , v ₂ = (4, 1, 0) , v ₃ = (2, 5, 2) . Wir zeigen, dass v 1 , v 2 , v 3 linear unabh¨ angig sind.

Sei λ ₁ v ₁ + λ ₂ v ₂ + λ ₃ v ₃ = 0 , d.h.

(3λ ₁ , 0, 0) + (4λ ₂ , λ ₂ , 0) + (2λ ₃ , 5λ ₃ , 2λ ₃ ) = (3λ ₁ + 4λ ₂ + 2λ ₃ , λ ₂ + 5λ ₃ , 2λ ₃ ) = (0, 0, 0) .

Somit 3λ ₁ + 4λ ₂ + 2λ ₃ = 0 , λ ₂ + 5λ ₃ = 0 , 2λ ₃ = 0 und damit λ ₃ = 0 , λ ₂ = 0 , λ ₁ = 0 .

Weitere Beobachtungen. Sei V ein K -Vektorraum.

1) Jede Teilfamilie einer linear unabh¨ angigen Familie ist wieder linear unabh¨ angig (und damit ist jede Oberfamilie einer linear abh¨ angigen Familie wieder linear abh¨ angig).

∈ ·

linear abh¨ angig.

3) Zu (v _i ) _{i ∈ I} sei v _i

= v _i

, i ₀ , i ₁ ∈ I . Dann ist (v _i ) _{i ∈ I} wegen 1 · v _i

+ ( − 1) · v _i

= 0 linear abh¨ angig.

4) v ∈ V ist linear unabh¨ angig ⇔ v ̸ = 0 .

5) Sei (v _i ) _{i ∈ I} linear unabh¨ angig in W und W ▹ V , dann ist (v _i ) _{i ∈ I} auch linear unabh¨ angig in V .

6) Seien (v ₁ , v ₂ , . . . , v _r ) linear abh¨ angig, r ≥ 2 . Dann gibt es ein k ∈ { 1, 2, . . . , r } sodaß v _k Linearkombination der restlichen Vektoren (v ₁ , . . . , v _{k − 1} , v _k+1 , . . . , v _r ) ist.

Beweis zu 6) :

∃ (λ ₁ , λ ₂ , . . . , λ _r ) ̸ = (0, 0, . . . , 0) mit λ ₁ v ₁ + . . . + λ _r v _r = 0 . Sei etwa λ _k ̸ = 0 . Dann ist

v _k = − _λ ^λ

v ₁ − . . . − ^λ _λ

v _{k − 1} − ^λ _λ

v _k+1 − . . . − ^λ _λ

v _r .

Beispiele.

1) In V = K ⁿ gibt es n linear unabh¨ angige Vektoren.

F¨ ur jedes i ∈ { 1, 2, . . . , n } sei e i = (0, . . . , 0, 1

i − teStelle

, 0, . . . 0) .

Behauptung : die n Vektoren (e ₁ , e ₂ , . . . , e _n ) sind linear unabh¨ angig.

Sei λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + . . . + λ n e n = 0 . Wegen λ 1 e 1 = (λ 1 , 0, . . . , 0) , λ 2 e 2 = (0, λ ₂ , 0, . . . , 0) , . . . , λ _n e _n = (0, . . . , 0, λ _n ) gilt offenbar

(λ ₁ , λ ₂ , . . . , λ _n ) = (0, 0, . . . , 0) , somit λ ₁ = λ ₂ = . . . = λ _n = 0 .

2) In V = P ⁿ gibt es n + 1 linear unabh¨ angige Vektoren.

F¨ ur jedes i ∈ { 0, 1, 2, . . . , n } sei p _i (t) = t ⁱ .

Behauptung : (p ₀ , p ₁ , . . . , p _n ) sind linear unabh¨ angig.

Sei λ ₀ p ₀ + λ ₁ p ₁ + . . . + λ _n p _n = 0 (Nullvektor in P ⁿ ) .

D.h. ∀ t ∈ R gilt λ ₀ + λ ₁ t + λ ₂ t ² + . . . + λ _n t ⁿ = 0 .

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra kann ein Polynom n-ten Grades (n ≥ 1) aber h¨ ochstens n (reelle) Nullstellen haben. Damit muß, falls n ≥ 1 , λ ₀ = λ ₁ = .... = λ _n = 0 sein. Der Fall n = 0 ist trivial.

Zweite ¨ Uberlegung : Wird λ ₀ + λ ₁ t + λ ₂ t ² + . . . + λ _n t ⁿ = 0 n-mal differenziert, erhalten wir n(n − 1) . . . 2.1λ _n = 0 und damit λ _n = 0 . Damit verbleibt λ ₀ + λ ₁ t + λ ₂ t ² + . . . + λ _{n − 1} t ^{n − 1} = 0 , und (n − 1)-faches Differenzieren liefert λ _{n − 1} = 0 etc. Schließlich λ ₁ = λ ₀ = 0 .

Bemerkung. (Eine komfortable Schreibweise)

Sei (v _i ) _{i ∈ I} eine Familie von Vektoren im K -Vektorraum V .

Dann kann ein Vektor v ∈ Span(v _i ) formal geschrieben werden in der Form v = ∑

i ∈ I

λ _i v _i , wobei h¨ ochstens endlich viele λ _i ̸ = 0 sind.

Die Addition von v = ∑

i ∈ I

λ _i v _i und w = ∑

i ∈ I

µ _i v _i ist in dieser Schreibweise dann v + w = ∑

i ∈ I

(λ i + µ i )v i , und die Multiplikation von v = ∑

i ∈ I

λ i v i mit λ ∈ K ist λv = ∑

i ∈ I

(λλ _i )v _i .

Lemma. Sei (v _i ) _{i ∈ I} eine Familie von Vektoren im K -Vektorraum V . Dann sind folgende Aussagen ¨ aquivalent:

1) (v _i ) _{i ∈ I} ist linear unabh¨ angig ,

2) die Darstellung jedes Vektors v ∈ Span(v _i ) in der Form v = ∑

i ∈ I

λ _i v _i ist eindeutig . Beweis.

1) ⇒ 2) : Sei v ∈ Span(v i ) und v = ∑

i ∈ I

λ i v i = ∑

i ∈ I

µ i v i .

Dann gibt es endliche Teilmengen J ₁ , J ₂ ⊆ I mit λ _i = 0 f¨ ur i / ∈ J ₁ und

µ _i = 0 f¨ ur i / ∈ J ₂ .

Die Menge J = J ₁ ∪ J ₂ ist ebenfalls endlich und f¨ ur i / ∈ J gilt offenbar λ _i = 0 und µ _i = 0 . Also kann v auch geschrieben werden als endliche Linearkombination der Form v = ∑

i ∈ J

λ _i v _i bzw. v = ∑

i ∈ J

µ _i v _i . Subtraktion liefert 0 = ∑

i ∈ J

(λ _i − µ _i )v _i . Wegen der linearen Unabh¨ angigkeit der (v i ) ist dann λ i − µ i = 0 ∀ i ∈ J , bzw. λ i = µ i ∀ i ∈ J . Somit ist λ i = µ i f¨ ur alle i ∈ I .

2) ⇒ 1) : Annahme: (v i ) i ∈ I sei linear abh¨ angig.

Dann ist eine endliche Teilfamilie (v _i

, v _i

, ..., v _i

) linear abh¨ angig, und (siehe Beobachtungen vorher, 6)) einer der Vektoren, etwa v _i

, ist darstell- bar als Linearkombination der verbleibenden Vektoren. Dies ist eine weit- ere, unterschiedliche Darstellung als 1 · v _i

von v _i

, was einen Widerspruch zur Annahme liefert.

Somit ist (v i ) i ∈ I linear unabh¨ angig.