1. Pr¨ufen Sie, ob die Vektoren linear abh¨angig sind. Falls ja, geben Sie die Art der linearen Abh¨angigkeit an.

Lineare Algebra ¨ Ubungsblatt 2: Vektor- und Matrizenrechung

1. Pr¨ufen Sie, ob die Vektoren linear abh¨angig sind. Falls ja, geben Sie die Art der linearen Abh¨angigkeit an.

(a) ~a =



  4 3

−5



  ,~b =



  6 7 0



  , ~c =



  2 3 2



 

(b) ~a =



  1 0

−2



  ,~b =



 

−1

−2 0



  , ~c =



  1 0 2



  ,

(c) ~a = Ã 1

1

! ,~b =

à 1 0

! , ~c =

à −1 1

! , ~ d =

à 0

−1

!

2. Gegeben sind die Punkte A(0, −1, 0), B(5, 1, 0), C(0, 4, 0) und D(3, 1, 4).

(a) Geben Sie die Vektoren ~a = DA, ~ ~b = DB, ~ ~c = DC ~ in Koordinatendarstellung an.

(b) Bestimmen Sie die Komponentendarstellung des Vektors d ~ =



  3 0

−1



  bez¨uglich der drei Vektoren

~a, ~b und ~c.

3. Gegeben sind die folgenden Matrizen A =

à 1 −1

2 1

! , B =

à 0 −2

1 1

! .

Berechnen Sie A − 2B, A · B, A · B

^T

und A

^T

· B.

4. Gegeben sind die folgenden Matrizen A =



 

1 0 2

0 −1 3

−2 −1 0



  , B =



 

0 1 2

−1 1 0 1 0 3



  .

Berechnen Sie A · B, B · A, A · B

^T

und A

^T

· B.

5. Gegeben sind die folgenden Matrizen A =



 

3 −2 −3

0 −1 2

−1 2 3



  , B =



 

2 0

1 −1

0 3



  , C =

à 1 2 3

−1 0 1

!

Berechnen Sie falls m¨oglich die folgenden Summen, Produkte oder Inversionen. Begr¨unden Sie anson- sten, warum die Operation nicht m¨oglich ist.

(a) A · B (b) A · C (c) B

^T

· C (d) C · B

(e) A + B (f) A + C · B (g) B

⁻¹

1

(h) A

⁻¹

Lineare Algebra ¨ Ubungsblatt 2: L¨ osungen 1. (a) linear abh¨angig:

mit λ

₃

= λ frei w¨ahlbar:

²₅

λ~a −

³₅

λ~b + λ~c = 0 (b) linear unabh¨angig

(c) linear abh¨angig:

mit λ

₃

und λ

₄

frei w¨ahlbar: (−λ

3

+ λ

₄

)~a + (2λ

₃

− λ

₄

) ~b + λ

₃

~c + λ

₄

d ~ = 0 2. (a) ~a =



 

−3

−2

−4



  ,~b =



  2 0

−4



  , ~c =



 

−3 3

−4



  ,

(b) d ~ = −

₁₀³

~a +

³₄

~b −

¹₅

~c.

3. A − 2B =

à 1 3 0 −1

!

, A · B =

à −1 −3 1 −3

!

, A · B

^T

=

à 2 0

−2 3

!

, A

^T

· B =

à 2 0 1 3

! .

4. A · B =



 

2 1 8

4 −1 9

1 −3 −4



  , B · A =



 

−4 −3 3

−1 −1 1

−5 −3 2



  ,

A · B

^T

=



 

4 −1 7

5 −1 9

−1 1 −2



  , A

^T

· B =



 

−2 1 −4 0 −1 −3

−3 5 4



  .

5. (a) A · B =



 

4 −7

−1 7

0 7



 

(b) A · C: nicht m¨oglich, da Spaltenanzahl A (3) 6= Zeilenanzahl C (2) (c) B

^T

· C: nicht m¨oglich, da Spaltenanzahl B

^T

(3) 6= Zeilenanzahl C (2) (d) C · B =

à 4 7

−2 3

!

(e) A + B: nicht m¨oglich, da A und B unterschiedliches Formet haben.

(f) A + C · B : nicht m¨oglich, da A und C · B unterschiedliches Formet haben.

(g) B

⁻¹

: nicht m¨oglich, da B nicht quadratisch ist.

(h) A

⁻¹

=



 

12

0

¹₂

17

−

³₇ ³₇

141 2

7 3

14



 

2