Elemente v1, . . . ,vm eines VektorraumsV sind linear abh¨angig, wenn ein Elementvk als Linearkombination der anderen darstellbar ist, d.h.
s1v1+· · ·+smvm= 0V (*)
mit mindestens einem der Skalare sk 6= 0.
Andernfalls bezeichnet man v1, . . . ,vm als linear unabh¨angig. In diesem Fall folgt aus P
kskvk = 0V dass s1 =· · ·=sm = 0.
F¨ur Vektorenvk ∈Rn ist die Bedingung (*) ein homogenes lineares Gleichungssystem, das bei linearer Unabh¨angigkeit vonv1, . . . ,vm nur die triviale L¨osungs1 =· · ·=sm = 0 besitzt.
Beispiel
Lineare Unabh¨angigkeit von Vektoren in der Ebene
(i) Zwei Vektoren u,v ∈R2 sind genau dann linear unabh¨angig, wenn keiner der beiden ein Vielfaches des anderen ist.
konkrete Beispiele:
(1,0)t, (1,1)t sind linear unabh¨angig, denn
s(1,0)t+t(1,1)t= (0,0)t =⇒ s =t = 0 (2,3)t, (−4,−6)tsind linear abh¨angig, denn
(−2)(2,3)t= (−4,−6)t =⇒ 2(2,3)t+ (−4,6)t= (0,0)t, d.h. ∃eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors
ru+sv+tw = 0
0
unterbestimmtes, homogenes lineares Gleichungssystem ru1 + sv1 + tw1 = 0
ru2 + sv2 + tw2 = 0 f¨ur r,s,t, das immer eine nichttriviale L¨osung besitzt.
konkretes Beispiel:
r 0
1
+s 1
2
+t 2
3
= 0
0
mit der L¨osungr =λ,s =−2λund t =λf¨ur beliebigesλ∈R
Beispiel
Lineare Unabh¨angigkeit von Vektoren im Raum
(i) Zwei Vektoren u,v ∈R3 sind linear abh¨angig, wenn sie parallel sind, d.h. wenn ein Vektor ein Vielfaches des anderen ist.
(ii) Drei Vektoren u,v,w ∈R3 sind linear abh¨angig, wenn zwei Vektoren parallel sind oder wenn ein Vektor in der von den beiden anderen Vektoren aufgespannten Ebene liegt.
(iii) Vier und mehr Vektoren imR3 sind immer linear abh¨angig.
Test f¨ur lineare Unabh¨angigkeit:
s1=· · ·=sn= 0 ist die einzige L¨osung des homogenes linearen Gleichungssystems
x1
xn 0
u = (0,1,2)t,v = (1,2,3)t sind linear unabh¨angig, da u∦v
(ii)u = (1,0,0)t,v = (2,3,0)t,w = (4,5,6)t sind linear unabh¨angig, da
r
1 0 0
+s
2 3 0
+t
4 5 6
=
0 0 0
=⇒ r =s =t = 0
(iii) (1,0,0)t,(0,2,0)t,(0,0,3)t,(4,5,6)t sind linear abh¨angig, da
5
1 0 0
+ 2
0 2 0
+ 2
0 0 3
+ (−1)
5 4 6
=
0 0 0
