Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit 1. November 2017
H¨ohere Mathematik I (f¨ur MB)
6. ¨Ubung : Vektoren I
6.1 Sind die Vektoren u = (1 7 2)⊤, v = (3 1 2)⊤, w = (2 −1 1)⊤ ∈ V = R3 linear unabh¨angig ?
6.2 (a) Zeigen Sie, dass u = (2 1 −1 0)⊤, v = (0 −3 2 −4)⊤, w = (1 −2 4 1)⊤ ∈ V = R4 linear unabh¨angig sind.
(b) Welcher der Vektoren x = (1 0 −3 −5)⊤, y = (2 −1 6 6)⊤, z = (−1 1 0 5)⊤ ist geeignet, zusammen mit u, v, w eine Basis B von V zu bilden ?
(c) Stellen Sie den Vektor a = (0 1 −3 0)⊤ als Linearkombination der Basisvektoren von B dar.
6.3 Zeigen Sie, dass die Menge U =
x = (x1 x2 x3 x4)⊤ ∈ R4 : x3 = 2x1 −x2
ein Unterraum von V = R4 ist.
Welche Dimension hat U ? Geben Sie eine Basis von U an.
6.4 Zeigen Sie, dass die Menge U aller 3×3 – Diagonalmatrizen ein Unterraum von V = R3×3 ist.
(a) Bestimmen Sie dim V und dim U.
(b) Geben Sie je eine Basis f¨ur V und U an.
6.5 Berechnen Sie mit den Vektoren aus Aufgabe 6.2
(a) die Skalarprodukte x·a , u·y , w ·w mit x·y = x⊤y (b) die Normen |w|, kzk1, kak∞
(c) alle normierten Vektoren in dem von u aufgespannten Unterraum (bez¨uglich der Maximumnorm k · k∞).
6.6 Geben Sie die allgemeine Form eines Vektors x ∈ R3 an, der orthogonal zu y = (3 −1 2)⊤ ist.
6.7 Berechnen Sie in V = R5 die orthogonale Projektion
von a = (1 0 1 −1 2)⊤ auf den von b = (0 2 −1 −2 0)⊤ aufgespannten Unterraum.
Berechnen Sie die orthogonale Projektion von b auf span(a) .
Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
