Fakult¨at f¨ur Mathematik

Fakult¨at f¨ur Mathematik

Dr. U. Streit

H¨ohere Mathematik II (MB)

23. ¨ Ubung: Kurvenintegrale

23.1 Wie groß ist die Massemdes im ersten Quadranten liegenden BogensKder Ellipse x(t) = 2 cost , y(t) = sint ,wenn die Dichte̺in jedem Punkt der Kurve gleich der Ordinate des Punktes ist ?

23.2 Berechnen Sie R

Kv dx mit v= (x²+y², xy)^⊤ l¨angs (a) der Strecke vonA(0,0) nachB(2,2),

(b) des Parabelbogens y=^x2² vonA(0,0) nachB(2,2). 23.3 Berechnen Sie u

Kv dx mit v= (x+y+z+ 1,3x+ 2y−z−2,5x−y+z+ 7)^⊤ l¨angs des geschlossenen StreckenzugesABCAmitA(0,0,0),B(2,3,0),C(2,3,4).

23.4 Zeigen Sie, dassv= (cos 2y,−2xsin 2y)^⊤ ein Potentialfeld ist. Bestimmen Sie das Potential vonvund hierausR

Kv dx f¨ur eine KurveK von A 1,^π6

nachB 2,^π4

. 23.5 Berechnen Sie die Rotation von

v(x, y, z) = (x²+y z+z , y+x z , x y z)^⊤, w(x, y, z) = (1 +y+y z , x+x z , x y)^⊤. 23.6 F¨ur welche Parameterα , β∈R ist das Kurvenintegral

Z

K

(αx²y+z²)dx+ (x³+ 2yz)dy+ (y²+βxz)dz

wegunabh¨angig ? Ermitteln Sie in diesem Fall das zugeh¨orige Potential.

23.7 Berechnen Sie u

Kv dx mit v= (P, Q)^⊤ undP=− y

x²+y², Q= x x²+y² l¨angs des Einheitskreises.

Wieso verschwindet das Integral nicht, obwohlPy=Qxgilt ?

Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit

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Dr. U. Streit

H¨ohere Mathematik II (MB)

24. ¨ Ubung : Bereichsintegrale

B

f db mitf(x, y) =√xy f¨uhrt auf das Doppelintegral

a

R

0

_x R

0

f dy

dx , a >0. (a) Berechnen Sie das Doppelintegral.

(b) Beschreiben SieB als Normalbereich.

(c) Beschreiben SieB als Normalbereich mit vertauschten Koordinaten, und berechnen Sie das zugeh¨orige Doppelintegral.

24.2 Vertauschen Sie die Integrationsreihenfolge in

0

R

−2

! ₀ R

y²−4

y³dx

# dy , und berechnen Sie das entstandene Doppelintegral.

24.3 Berechnen Sie das Integral R R

B

f db .

Der NormalbereichBwird von den angegebenen Kurven begrenzt.

(a) f(x, y) =y , y=x, xy= 4, x= 4, (b) f(x, y) =y², y= lnx, x−y= 1, y=−1.

24.4 Finden Sie den geometrischen SchwerpunktS(xS, yS) des ebenen Bereiches B={(x, y)∈R²:y²≤8x, y≥0, 0≤x≤2}.

Uberpr¨ufen Sie f¨ur¨ yS(bzw.xS) die G¨ultigkeit der Guldinschen Regel : Das Volumen eines Rotationsk¨orpers ist gleich dem Produkt aus dem Inhalt der erzeugenden Fl¨ache und dem Umfang des vom Fl¨achenschwerpunkt erzeugten Kreises.

24.5 Ermitteln Sie das von den gegebenen Fl¨achen begrenzte Volumen.

Wechseln Sie gegebenenfalls zu Polarkoordinaten.

(a) z=x²+y², x+y= 4, x= 0, y= 0, z= 0.

(b) x²+y²= 1, x²+y²= 4, z= 0, z=x+ 2.

24.6 Berechnen Sie f¨ur den r¨aumlichen Normalbereich

B={(x, y, z) : 0≤x≤1,0≤y≤x, 0≤z≤x+ 3y+ 1}

(a) das Volumen als BereichsintegralV =RRR

B

1db , (b) den geometrischen SchwerpunktS(xS, yS, zS).

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