Fakult¨at f¨ur Mathematik

Fakult¨at f¨ur Mathematik

Dr. U. Streit

H¨ohere Mathematik II (MB)

23. ¨ Ubung: Kurvenintegrale

23.1 Wie groß ist die Masse m des im ersten Quadranten liegenden Bogens K der Ellipse x(t) = 2 cost , y(t) = sint , wenn die Dichte ̺ in jedem Punkt der Kurve gleich der Ordinate des Punktes ist ?

23.2 Berechnen Sie R

Kv dx mit v = (x²+y², xy)^⊤ l¨angs (a) der Strecke von A(0,0) nachB(2,2),

(b) des Parabelbogens y= ^x2² von A(0,0) nach B(2,2). 23.3 Berechnen Sie u

Kv dx mit v = (x+y+z+ 1, 3x+ 2y−z−2,5x−y+z+ 7)^⊤ l¨angs des geschlossenen Streckenzuges ABCA mit A(0,0,0),B(2,3,0),C(2,3,4).

23.4 Zeigen Sie, dass v = (cos 2y, −2xsin 2y)^⊤ ein Potentialfeld ist. Bestimmen Sie das Potential vonv und hieraus R

Kv dx f¨ur eine KurveK von A 1,^π₆

nach B 2,^π₄ . 23.5 Berechnen Sie die Rotation von

v(x, y, z) = (x²+y z+z , y+x z , x y z)^⊤, w(x, y, z) = (1 +y+y z , x+x z , x y)^⊤.

23.6 F¨ur welche Parameter α , β ∈R ist das Kurvenintegral Z

K

(αx²y+z²)dx+ (x³ + 2yz)dy+ (y²+βxz)dz

wegunabh¨angig ? Ermitteln Sie in diesem Fall das zugeh¨orige Potential.

23.7 Berechnen Sie u

Kv dx mit v = (P, Q)^⊤ und P =− y

x²+y² , Q= x x²+y² l¨angs des Einheitskreises.

Wieso verschwindet das Integral nicht, obwohl P_y =Q_x gilt ? 23.8 Zusatz.

Im Erdgravitationsfeld wirkt auf die Masse m0 = 1 kg in x= (x, y, z)^⊤ die Kraft g(x) =−GM m0

|x|³ x , |x| ≥R (Maßeinheit N)

mit Gravitationskonstante G= 6.672·10⁻¹¹Nm²kg⁻²,Erdmasse M = 5.976·10²⁴kg und Erdradius R = 6376 km.

Welche Energie ist notwendig, um die Masse m0 von der Erdoberfl¨ache unendlich weit zu entfernen ? (Der Einfluss anderer Himmelsk¨orper bleibt unber¨ucksichtigt.)

Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit