Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit
28. Juni 2017H¨ohere Mathematik II (MB)
27. ¨ Ubung : Fourier-Reihen
27.1 Integrieren Sie.
Z π
0
t e−it dt ,
Z π
0
e−ikt sint dt , k ∈Z
Hinweis : sint= eit−2ie−it
27.2 Sind die Funktionen periodisch ? Falls ja, geben Sie die Periode an.
(a) tant
(b) 2 sin 2t+ 3 cos 3t+ 4 sin 4t (c) sint·cost
(d) cos12πt+ cos23πt (e) sint+ sinπt
Sind die Funktionen gerade oder ungerade ? 27.3 Bestimmen Sie die Fourier-Reihe der Funktion
f(t) = 12(sint+|sint|), t ∈R,
indem Sie die Formeln f¨ur die komplexen Koeffizienten auswerten.
Schreiben Sie die Reihe auch in reeller Form auf.
Wie ist das Abklingverhalten der Amplituden ?
27.4 Entwickeln Sie die folgende Funktion der Periode T = 2 in eine Fourier-Reihe.
Verwenden Sie die reelle Form, und nutzen Sie die Symmetrie von f. f(t) =−1, t∈[−1,−12), f(t) = 1, t∈[−12,12), f(t) =−1, t∈[12,1), f(t) =f(t+ 2), t∈R
Wie ist das Abklingverhalten der Amplituden ?
27.5 Entwickeln Sie f(t) mit der Periode T = 2 in eine Fourier-Reihe.
Verwenden Sie die reelle Form, und beachten Sie die Symmetrie von f.
f(t) =−(t+ 1), t∈[−1,−12), f(t) =t, t∈[−12,12), f(t) = 1−t, t∈[12,1), f(t) =f(t+ 2), t∈R
Differenzieren Sie die erhaltene Reihe gliedweise, und vergleichen Sie mit Aufgabe 4 . 27.6 Finden Sie die komplexe Form der Fourier-Reihe der 2π-periodischen Funktion.
f(t) = 0, t∈[0, π), f(t) = (t−2π)2, t∈[π,2π), f(t) =f(t+ 2π), t∈R Geben Sie die Amplituden A1, A2, A3 an (bis auf vier Nachkommastellen genau).
Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
