Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit
9. Mai 2019H¨ohere Mathematik II (MB)
22. ¨ Ubung: Funktionen von mehreren Variablen III
22.1 Ermitteln Sie die Taylorpolynome zweiten Grades von f an der Stelle (x0, y0).
(a) f(x, y) = arctanx
y , x0 = 2, y0 = 1 (b) f(x, y) =yln(y−3x), x0 = 0, y0 = 1 22.2 Bestimmen Sie alle lokalen Extremstellen von f(x, y).
(a) f(x, y) = 2x2+ 2y2+ 3xy−5x−2y+ 5 (b) f(x, y) = 1
3x3+xy2−5x+ 1
3y3−5y (c) f(x, y) =ex−xey
(d) f(x, y) =x3−y3+ 3axy mit a≥0 (e) f(x, y) =x2−2xy+ylny+y2
22.3 Bestimmen Sie zu den Punkten Pi(xi, yi) aus einer Messreihe f¨ur einen funktionalen Zusammenhang y=y(x) mit der Methode der kleinsten Quadrate
(a) die Ausgleichsgerade y=ax+b ,
(b) die Ausgleichsparabel y=ax2 +bx+c .
P1(0; 1), P2(1; 4), P3(2; 6), P4(3; 8), P5(4; 9)
Zusatz. Finden Sie die Ausgleichsgerade f¨ur die Umkehrfunktion x=x(y). Vertauschen Sie hierzu die Wertexi und yi,und bestimmen Sie sodann eine Geradengleichung x= ˜ay+ ˜b . Vergleichen Sie mit der Gerade aus (a).
22.4 Berechnen Sie die Extremwerte der Funktion f(x, y) = x2+y2 unter der Nebenbedingung g(x, y) =x+y+ 1 = 0
(a) durch Einsetzen und (b) nach der Methode der Lagrange-Multiplikatoren.
22.5 Benutzen Sie die Methode der Lagrange-Multiplikatoren, um die Extrema
von f(x, y) = 3− 34x−y unter der Nebenbedingung g(x, y) = 4x2+ 4y2−9 = 0 zu bestimmen. Ob es sich um Maxima/Minima handelt, entscheiden Sie mittels
geometrischer Interpretation von z =f(x, y) und g(x, y) = 0.
22.6 Es soll eine quaderf¨ormige Halle mit einem Volumen von 1000 m3 projektiert werden, wobei der W¨armeverlust in einem gewissen Zeitraum w¨ahrend der Heizperiode minimal sein soll.
Wie sind die Kantenl¨angen des Quaders zu w¨ahlen, wenn in besagtem Zeitraum ¨uber die verglasten Seitenw¨ande 5 Einheiten W¨arme pro m2 verloren gehen, und der W¨armeverlust ¨uber Dach und Fußboden 3 Einheiten pro m2 bzw. 1 Einheit pro m2 betr¨agt ?
Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
