Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit 10. April 2019
H¨ohere Mathematik II (MB)
17. ¨Ubung : Ebene Kurven
17.1 Welche Kurven werden durch die Parametrisierung x(t) = (x(t) y(t))⊤ beschrieben ? Berechnen Sie kx˙ (t)k.
(a) x(t) = r cost+ 1, y(t) =r sint−1, r > 0, t∈ R (b) x(t) = a cost , y(t) = b sint , a, b > 0, t∈ R
17.2 Skizzieren Sie folgende Kurven. Ermitteln Sie die Wertebereiche von x(t) und y(t), t ∈ R. Wie werden die Kurven durchlaufen, wenn sich t von −∞ nach ∞ ¨andert ?
Bestimmen Sie den Anstieg der Kurven. Beschreiben Sie die Kurven durch Gleichungen, die den Parameter t nicht enthalten.
(a) x(t) = 3 cos2t , y(t) = 2 sin2t (b) x(t) = cos 2t, y(t) = sint 17.3 Die Zykloide
x(t) = a(t−sint), y(t) = a(1−cost), t∈ R
ist die Bahnkurve eines Punktes P am Umfang eines auf der Gerade y = 0 abrollenden Rades vom Radius a > 0 (Rollkurve).
Wie ¨andert sich der Anstieg der Kurve w¨ahrend einer vollen Periode ? Was passiert mit dem Geschwindigkeitsvektor bei t = 2π?
17.4 Finden Sie f¨ur die Kurve y = x2 die Gleichungen von Normale und Kr¨ummungskreis in den Punkten P1(0,0) und P2(1,1).
17.5 In welchen Punkten hat die Kardioide r(ϕ) = 1 + cosϕ , 0≤ ϕ ≤2π . eine vertikale Tangente ?
17.6 Skizzieren Sie die Kurve
x(t) = sin 2t cost , y(t) = sin 2t sint , t∈ R.
Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
