Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit
19. Juni 2019H¨ohere Mathematik II (MB)
26. ¨ Ubung : Komplexe Funktionen
26.1 Gegeben ist die Funktion
f(z) =z2, z∈C mit x= Re (z), y = Im (z).
(a) Bestimmen Sie Realteil u(x, y) und Imagin¨arteil v(x, y) vonf, und skizzieren Sie die Niveaulinien von u und v.
(b) Zeigen Sie, dass f holomorph in C ist, und geben Sie die Ableitung f′(z) an.
26.2 F¨ur welche z ist die Funktion f(z) =|z|, z ∈C
differenzierbar ?
26.3 Die Funktion f(z) mit Realteil uund Imagin¨arteil v sei holomorph in D⊆C. (a) Zeigen Sie, dass in D gilt:
gradu· gradv = 0.
(b) Was bedeutet dies f¨ur die Niveaulinien von u und v?
26.4 Bestimmen Sie Realteil und Imagin¨arteil von f(z) = cosz = 12(eiz +e−iz). 26.5 Berechnen Sie die algebraischen Formen.
(a) 2i (b) Ln(−i) (c) ii 26.6 Finden Sie eine Zahl z mit sinz = 2 .
26.7 Berechnen Sie das Integral von f(z) = ¯z l¨angs der Kurven.
(a) K1 : vonz0 = 0 bis z1 = 1 +i geradlinig
(b) K2 : vonz0 = 0 bis z2 =i geradlinig, dann von z2 bisz1 = 1 +i geradlinig Hatf eine Stammfunktion ?
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