Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit 3. Januar 2018
H¨ohere Mathematik I (f¨ur MB)
11. ¨Ubung : Eigenwerte III
11.1 Bringen Sie die folgenden quadratischen Gleichungen auf Normalform.
Um welche Kurven bzw. Fl¨achen zweiter Ordnung handelt es sich ? (a) 13x21 −10x1x2 + 13x22−288 = 0
(b) 9x21 −24x1x2 + 16x22 −130x1 + 90x2+ 175 = 0 (c) 5x21 −6x1x2 −3x22 + 2x1 + 18x2 −43 = 0
(d) 5x21 −4x1x2 + 2x22 + 2x1 −6x2 + 4 = 0
(e) x21+ 5x22 +x23 + 2x1x2 + 6x1x3 + 2x2x3 + 36x1 −36x2 + 70 = 0 (f) 2x21 + 2x22 + 3x23+ 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 + 10x2 + 1 = 0
(g) 9x21+x22+ 16x23−6x1x2+ 24x1x3−8x2x3−12x1+ 4x2−16x3+ 4 = 0 11.2 Durch den Schnitt des Kegels x2 +y2 −z2 = 0 mit der
Ebene αx+z = 1, α ∈ R wird eine Kurve zweiter Ordnung (”Kegelschnitt”) bestimmt.
Stellen Sie fest, um welche Kurve es sich im Falle α = 0.5 handelt.
Ermitteln Sie dazu die Projektion dieser Kurve in die x-y-Ebene, indem Sie z aus der Ebenengleichung isolieren und in die
Kegelgleichung einsetzen.
Zusatz . F¨ur welche Werte von α ist die Schnittkurve (a) eine Ellipse,
(b) eine Parabel, (c) eine Hyperbel ?
Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
