Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit 20. April 2018
H¨ohere Mathematik II (MB)
19. ¨Ubung : Integralrechnung II 19.1 Berechnen Sie I =
R2 0
f(x) dx f¨ur f(x) = √
1 +x3 n¨aherungsweise (vier Nachkommastellen) mit Trapez-Regel und Simpson-Regel, jeweils f¨ur n = 4 und n= 8.
Sch¨atzen Sie die Fehler der Quadraturformeln ab, wenn M2 = 2
und M4 = 8 Schranken f¨ur die zweite bzw. vierte Ableitung von f auf dem Intervall [0,2] sind.
19.2 Berechnen Sie den Inhalt des von den Kurven y = x2 + 2x und y = 4−x eingeschlossenen endlichen Bereichs.
19.3 Finden Sie ein Parameterintervall [a, b] ⊂R, f¨ur das durch x(t) = 3t2, y(t) = 3t−t3, t ∈ [a, b]
eine geschlossene Kurve bestimmt wird. (Skizze ?) Welchen Inhalt hat die eingeschlossene Fl¨ache ? 19.4 Berechnen Sie die Bogenl¨ange der Kurven.
(a) y = 3 2
√3
x − 3 10
√3
x5, 1≤ x ≤ 8 (b) r(ϕ) = eϕ, 0≤ ϕ ≤π
19.5 Ein Faß wird durch ein um die x-Achse rotierendes Teilst¨uck der
Ellipse 3x2+ 5y2 = 120 (Maßeinheit: dm) erzeugt. Die H¨ohe des Fasses betr¨agt 1 m, die Durchmesser der Bodenfl¨achen jeweils 60 cm.
Bestimmen Sie das Volumen des Fasses.
Zusatz: Ermitteln Sie die Mantelfl¨ache des Fasses.
19.6 Bestimmen Sie den Inhalt der von der Kardioide r(ϕ) = 1 + cosϕ , 0≤ ϕ ≤2π
eingeschlossenen Fl¨ache.
Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
