Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit 19. April 2017
H¨ohere Mathematik II (MB)
19. ¨Ubung : Integralrechnung II
19.1 Berechnen Sie den Inhalt des von den Kurven y = x2 + 2x und y = 4−x eingeschlossenen endlichen Bereichs.
19.2 Finden Sie ein Parameterintervall [a, b] ⊂R, f¨ur das durch x(t) = 3t2, y(t) = 3t−t3, t ∈ [a, b]
eine geschlossene Kurve bestimmt wird. (Skizze ?) Welchen Inhalt hat die eingeschlossene Fl¨ache ? 19.3 Berechnen Sie die Bogenl¨ange der Kurven.
(a) y = 3 2
√3
x − 3 10
√3
x5, 1≤ x ≤ 8 (b) r(ϕ) = eϕ, 0≤ ϕ ≤π
19.4 Ein Faß wird durch ein um die x-Achse rotierendes Teilst¨uck der
Ellipse 3x2+ 5y2 = 120 (Maßeinheit: dm) erzeugt. Die H¨ohe des Fasses betr¨agt 1 m, die Durchmesser der Bodenfl¨achen jeweils 60 cm.
Bestimmen Sie das Volumen des Fasses.
Zusatz: Ermitteln Sie die Mantelfl¨ache des Fasses.
19.5 Ein liegender zylindrischer Speicher (Radius 2 m, L¨ange 5 m), der zur H¨alfte mit Wasser gef¨ullt ist, wird ¨uber eine 3 m oberhalb der
Zylinderachse befindliche ¨Offnung leergepumpt. Die dabei verrichtete Arbeit W kann durch ein bestimmtes Integral dargestellt werden.
(a) Leiten Sie W ¨uber die Riemann-Summe her, indem Sie das
Volumen parallel zur Wasseroberfl¨ache in d¨unne Schichten zerlegen und die f¨ur jede Schicht aufzuwendende Arbeit ermitteln.
(b) Berechnen Sie W.
19.6 Bestimmen Sie den Inhalt der von der Kardioide r(ϕ) = 1 + cosϕ , 0≤ ϕ ≤2π
eingeschlossenen Fl¨ache.
Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
