Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit
19. April 2017H¨ohere Mathematik II (MB)
19. ¨ Ubung : Integralrechnung II
19.1 Berechnen Sie den Inhalt des von den Kurven y = x
2+ 2x und y = 4 − x eingeschlossenen endlichen Bereichs.
19.2 Finden Sie ein Parameterintervall [a, b] ⊂ R, f¨ur das durch x(t) = 3t
2, y(t) = 3t − t
3, t ∈ [a, b]
eine geschlossene Kurve bestimmt wird. (Skizze ?) Welchen Inhalt hat die eingeschlossene Fl¨ache ? 19.3 Berechnen Sie die Bogenl¨ange der Kurven.
(a) y = 3 2
√
3x − 3 10
√
3x
5, 1 ≤ x ≤ 8 (b) r(ϕ) = e
ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π
19.4 Ein Faß wird durch ein um die x-Achse rotierendes Teilst¨uck der Ellipse 3x
2+ 5y
2= 120 (Maßeinheit: dm) erzeugt. Die H¨ohe des Fasses betr¨agt 1 m, die Durchmesser der Bodenfl¨achen jeweils 60 cm.
Bestimmen Sie das Volumen des Fasses.
Zusatz: Ermitteln Sie die Mantelfl¨ache des Fasses.
19.5 Ein liegender zylindrischer Speicher (Radius 2 m, L¨ange 5 m), der zur H¨alfte mit Wasser gef¨ullt ist, wird ¨uber eine 3 m oberhalb der Zylinderachse befindliche ¨ Offnung leergepumpt. Die dabei verrichtete Arbeit W kann durch ein bestimmtes Integral dargestellt werden.
(a) Leiten Sie W ¨ uber die Riemann-Summe her, indem Sie das Volumen parallel zur Wasseroberfl¨ache in d¨unne Schichten zerlegen und die f¨ur jede Schicht aufzuwendende Arbeit ermitteln.
(b) Berechnen Sie W.
19.6 Bestimmen Sie den Inhalt der von der Kardioide r(ϕ) = 1 + cos ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π
eingeschlossenen Fl¨ache.
Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit
19. April 2017H¨ohere Mathematik II (MB)
20. ¨ Ubung : Funktionen mehrerer Variabler I
20.1 Geben Sie f¨urfden Definitionsbereich inR2bzw.R3an.Beschreiben Sie die NiveaumengenNc. f(x, y) = 1
xy, f(x, y, z) = ln 1−p
x2+y2+z2−1
, f(x, y) = 1 sin 2x 20.2 Gegen welchen Wert strebtf(x, y) = y
x−y,(x6=y) f¨ur (x, y)→(0,0), wenn man sich dem Ursprung l¨angs einer Geraden in derx-y-Ebene n¨ahert ? Was folgt hieraus f¨ur den Grenzwert vonf in (0,0) ?
Beschreiben Sie die NiveaumengenNc.
20.3 Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen sowie den Gradienten.
(a) f(x, y) =x3+x2y+y3, (b) f(x, y, z) = a x
x2+y2+z2, a∈R, (c) f(x, y) =xy
20.4 Bilden Sie alle partiellen Ableitungen zweiter und dritter Ordnung vonf(x, y) =x3+x2y+y3.
20.5 Zeigen Sie, dass die partiellen Ableitungen der Funktionu(x, t) =e−a2tsinx die Gleichungut=a2uxx erf¨ullen (a∈R).
20.6 Berechnen Sie die Richtungsableitung von f(x, y) =y−1
√x + x y+ 1
an der Stelle (x0, y0) = (1,1) in Richtungr:
(a) r= (1 0)⊤ (b) r= (0.6 0.8)⊤ (c) r= (0.8 0.6)⊤. Finden Sie f¨ur die Stelle (x0, y0) eine Richtung, so dass die Richtungsableitung maximal wird.
Geben Sie f¨ur die Stelle (x0, y0) eine Richtung an, so dass die Richtungsableitung verschwindet.
Gibt es f¨urf eine Stelle (x1, y1),so dass dort die Richtungsableitung in jeder Richtung verschwindet ?
20.7 Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene an die Fl¨achez=f(x, y) f¨urx=x0undy=y0?
(a) f(x, y) = arctanx
y, (x0, y0) = (2,1) (b) f(x, y) =yln(y−3x), (x0, y0) = (0,1)
Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
