Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit
28. Juni 2018H¨ohere Mathematik II (MB)
26. ¨ Ubung : Komplexe Funktionen
26.1 Bestimmen Sie Realteilu=u(x, y) und Imagin¨arteil v =v(x, y) der Funktion f(z) =z2, z∈C, x=ℜ(z), y=ℑ(z).
Skizzieren Sie die Niveaumengen von uund v.
Zeigen Sie, dass f holomorph in Cist, und geben Sie die Ableitung f′(z) an.
26.2 F¨ur welche z ist die Funktion f(z) =|z|, z ∈C differenzierbar ?
26.3 Die Funktion f(z) mit Realteil uund Imagin¨arteil v sei holomorph in D⊂C. Zeigen Sie, dass in D die Beziehung
gradu· gradv = 0 gilt.
Was bedeutet dies f¨ur die Niveaulinien von u und v?
26.4 Bestimmen Sie Realteil und Imagin¨arteil von f(z) = cosz .
26.5 Berechnen Sie die algebraischen Formen von 2i, Ln(−i), ii.
26.6 Finden Sie eine Zahl z mit sinz = 2 .
26.7 Berechnen Sie f¨ur die Funktion f(z) = ¯z das Integral l¨angs folgender Kurven (a) K1 : vonz0 = 0 bisz1 = 1 +i geradlinig
(b) K2 : vonz0 = 0 bisz2 =i geradlinig, dann von z2 =i bisz1 = 1 +i geradlinig.
Hatf(z) eine Stammfunktion ?
Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
