Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit 17. M¨arz 2017
H¨ohere Mathematik II (MB)
15. ¨Ubung : Taylor-Formel, Newton-Verfahren
15.1 Schreiben Sie f¨ur f(x) das Taylorpolynom n-ten Grades auf (nach Potenzen von x−x0).
(a) f(x) = cosx, x0 = 0
(b) f(x) = exa , x0 = a 6= 0, a ∈ R
15.2 Geben Sie das Taylorpolynom n-ten Grades (nach Potenzen von x) sowie das Restglied an f¨ur f(x) = ln (1 +x), x >−1.
(a) Setzen Sie n = 2 und berechnen Sie damit n¨aherungsweise ln 1.15. Wie groß ist der zu erwartende Fehler ? (Sch¨atzen Sie dazu das Restglied ab).
(b) Wie groß ist n zu w¨ahlen, wenn der N¨aherungswert f¨ur ln 1.15 nicht mehr als 10−6 vom exakten Wert abweichen soll ?
Berechnen Sie f¨ur das gefundene n diesen N¨aherungswert.
15.3 Bestimmen Sie die Nullstelle des Taylor-Polynoms ersten Grades f¨ur f(x) = x3 −6x+ 3 und x0 = 2
und vergleichen Sie mit der bei x0 liegenden Nullstelle x∗ = 2.145103 von f. Verfahren Sie analog mit dem Taylor-Polynom zweiten Grades.
Veranschaulichen Sie die Graphen der drei Polynome.
15.4 Wie lauten die Taylor-Polynome n-ten Grades (n > 2) f¨ur das Polynom f(x) aus Aufgabe 15.3 (x0 = 2) ?
15.5 Zeigen Sie, dass die Funktion f(x) = x sinx−1 in D = [0,2] eine Nullstelle x∗ hat, und grenzen Sie diese mit einigen Schritten der fortgesetzten Intervallhalbierung (Bisektion) weiter ein.
Berechnen Sie N¨aherungen f¨ur x∗ mit dem Newton-Verfahren.
Starten Sie dazu mit x0 = 1, und f¨uhren Sie drei Schritte aus.
15.6 Bestimmen Sie mit dem Newton-Verfahren alle Nullstellen von f in D.
(a) f(x) = 3−x2 − x1 , D = R\ {0}
(b) f(x) = x3 −6x+ 3, D = R
Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
