Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit
9. Mai 2019H¨ohere Mathematik II (MB)
21. ¨ Ubung : Funktionen von mehreren Variablen II
21.1 Die Entfernungczwischen zwei PunktenAundBkann wegen Hindernissen im Gel¨ande nicht direkt bestimmt werden. Zusammen mit einem HilfspunktCbildenA undBein Dreieck, f¨ur das die Seitenl¨angenaundbmit einer Genauigkeit von±5 cm gemessen wurden: a= 364.76 m, b= 402.35 m.
Weiter wurde der Winkel γ=BCA= 68◦14´±1´ ermittelt.
Berechnen Sie die Seitenl¨angecsowie Schranken f¨ur deren absoluten und relativen Fehler.
21.2 Zur Ermittlung der Dichte̺eines Werkstoffs wird ein Probew¨urfel vermessen.
Wie genau kann die Dichte berechnet werden (relativer Fehler), wenn die Kantenl¨angeamit12% Genauigkeit und die Massem mit 1 % Genauigkeit gemessen werden ?
21.3 Eine Fliege bewegt sich durch einen Raum mit dem TemperaturfeldT=f(x, y, z).
In einem Punkt P gilt dabei gradf|P= (3 2 8)⊤·10−2K/m .
Welche zeitliche ¨Anderungsrate dTdt der Temperatur erlebt die Fliege im Punkt P, wenn dort ihrex-Koordinate mit einer Rate von 2 m/s zunimmt, diey-Koordinate mit einer Rate von 1 m/s abnimmt und die Geschwindigkeit inz-Richtung 0.25 m/s betr¨agt ?
21.4 Die Funktionf(r, ϕ) geht bei Koordinatentransformationr=g1(x, y), ϕ=g2(x, y) uber in die Funktion¨ F(x, y) :=f(g1(x, y), g2(x, y)).
Bestimmen Sieg1, g2f¨ur die Transformation von kartesischen Koordinatenx, yzu Polarkoordinatenr, ϕ .Finden Sie den Zusammenhang zwischen den partiellen Ableitungen vonfund denen vonF. Geben Sie die JacobimatrixJvon (g1, g2)⊤an sowie die Funktionaldeterminante detJ.
21.5 F¨ur die Funktion f(x, y) =13x3+xy2−5x+13y3−5y kann die Niveaulinie durch den PunktP(1;−1) in einer Umgebung vonP durch eine Funktiony=g(x) beschrieben werden. Ermitteln Sie unter Nutzung des Satzes ¨uber die implizite Funktion die Tangentengleichung an die Niveaulinie inP .
21.6 Gegeben sind die Funktionen f(x, y) =x+ey−e−x y, g(x, y) =e−2y−e−x−1. (a) Das nichtlineare Gleichungssystem
f(x, y) = 0, g(x, y) = 0
hat eine L¨osungx∗= (x∗ y∗)⊤ nahe beib= (0 0)⊤.
Finden Sie eine bessere N¨aherung f¨urx∗,indem Siefundgan der Stelleb linearisieren und das entstehende lineare Gleichungssystem l¨osen.
(b)Zusatz.Durch abermalige Anwendung dieses Prinzips l¨asst sich die N¨aherung f¨urx∗ weiter verbessern (Newton-Verfahren f¨ur nichtlineare Systeme).
F¨uhren Sie mindestens einen weiteren Iterationsschritt aus.
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Dr. U. Streit
9. Mai 2019H¨ohere Mathematik II (MB)
22. ¨ Ubung: Funktionen von mehreren Variablen III
22.1 Ermitteln Sie die Taylorpolynome zweiten Grades vonfan der Stelle (x0, y0).
(a) f(x, y) = arctanx
y, x0= 2, y0= 1 (b) f(x, y) =yln(y−3x), x0= 0, y0= 1 22.2 Bestimmen Sie alle lokalen Extremstellen vonf(x, y).
(a) f(x, y) = 2x2+ 2y2+ 3xy−5x−2y+ 5 (b) f(x, y) =1
3x3+xy2−5x+1 3y3−5y (c) f(x, y) =ex−xey
(d) f(x, y) =x3−y3+ 3axy mit a≥0 (e) f(x, y) =x2−2xy+ylny+y2
22.3 Bestimmen Sie zu den PunktenPi(xi, yi) aus einer Messreihe f¨ur einen funktionalen Zusammenhangy=y(x) mit der Methode der kleinsten Quadrate
(a) die Ausgleichsgeradey=ax+b , (b) die Ausgleichsparabely=ax2+bx+c .
P1(0; 1), P2(1; 4), P3(2; 6), P4(3; 8), P5(4; 9)
Zusatz.Finden Sie die Ausgleichsgerade f¨ur die Umkehrfunktionx=x(y).
Vertauschen Sie hierzu die Wertexiundyi,und bestimmen Sie sodann eine Geradengleichungx= ˜ay+ ˜b .Vergleichen Sie mit der Gerade aus (a).
22.4 Berechnen Sie die Extremwerte der Funktionf(x, y) =x2+y2unter der Nebenbedingung g(x, y) =x+y+ 1 = 0
(a) durch Einsetzen und (b) nach der Methode der Lagrange-Multiplikatoren.
22.5 Benutzen Sie die Methode der Lagrange-Multiplikatoren, um die Extrema vonf(x, y) = 3−34x−yunter der Nebenbedingungg(x, y) = 4x2+ 4y2−9 = 0 zu bestimmen. Ob es sich um Maxima/Minima handelt, entscheiden Sie mittels geometrischer Interpretation vonz=f(x, y) undg(x, y) = 0.
22.6 Es soll eine quaderf¨ormige Halle mit einem Volumen von 1000 m3projektiert werden, wobei der W¨armeverlust in einem gewissen Zeitraum w¨ahrend der Heizperiode minimal sein soll.
Wie sind die Kantenl¨angen des Quaders zu w¨ahlen, wenn in besagtem Zeitraum ¨uber die verglasten Seitenw¨ande 5 Einheiten W¨arme pro m2verloren gehen, und der W¨armeverlust ¨uber Dach und Fußboden 3 Einheiten pro m2bzw. 1 Einheit pro m2 betr¨agt ?
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