Analysis in mehreren Variablen

Analysis in mehreren Variablen

Eine Vorlesung f¨ ur das Lehramtsstudium

Franz Hofbauer

WS 2009

Stetigkeit, Integration und Ableitung von Funktion in mehreren Variablen werden be- handelt. Die Beweise werden nicht immer im Detail ausgef¨uhrt. Mit Hilfe des Integrals werden Volumina, Massen und Schwerpunkte berechnet. Die Ableitung verwenden wir, um Maxima und Minima von Funktionen in mehreren Variablen zu bestimmen.

1. H¨oherdimensionale R¨aume

Das mathematische Modell f¨ur den d-dimensionalen Raum ist R^d. Die Punkte im R^d werden wir mit x, y und dergleichen bezeichnen und mit ihnen wie mit Vektoren rech- nen. In Koordinaten geschrieben, wird x zu (x1, x2, . . . , xd). F¨ur d = 2 verwenden wir auch die Koordinaten (x, y), und (x, y, z) f¨ur d = 3. Auf R^d ist ein inneres Produkt durch hx,yi= x1y1+x2y2+· · ·+xdyd definiert und eine Norm durch kxk= p

hx,xi = px²₁+x²₂+· · ·+x²_d. Der Abstand der Punkte xund y im R^d ist dann kx−yk.

Satz 1.1 (Dreiecksungleichung) F¨ur x und y in R^d gilt kx+yk ≤ kxk+kyk.

Beweis: Es gilt die Cauchy–Schwarzsche Ungleichung hx,yi ≤ kxk · kyk. Daraus folgt dann kx+yk² =hx+y,x+yi =hx,xi+ 2hx,yi+hy,yi ≤ kxk²+ 2kxk · kyk+kyk² = (kxk+kyk)², womit kx+yk ≤ kxk+kyk gezeigt ist.

Im Eindimensionalen haben wir auf offenen und abgeschlossenen Intervallen gearbeitet.

Im H¨oherdimensionalen werden wir stattdessen auf offenen und abgeschlossenen Teilmen- gen arbeiten. Zuerst definieren wir Umgebungen eines Punktes. F¨urx∈R^d und ε >0 ist Uε(x) ={y∈R^d :kx−yk< ε} dieε-Umgebung von x. ImR² ist Uε(x) eine Kreisscheibe und imR³eine Kugel. Eine TeilmengeBvonR^dheißt offen, wenn f¨ur jedesx∈Beinε >0 existiert mitUε(x)⊆B. Eine Teilmenge B vonR^d heißt abgeschlossen, wenn ihr Komple- ment offen ist, das heißt wenn f¨ur jedes x∈/ B einε > 0 existiert mitU_ε(x)∩B=∅. Eine Teilmenge B von R^d heißt beschr¨ankt, wenn ein α >0 existiert mit B⊆Uα(0). F¨ur eine Menge B ⊆ R^d definieren wir das Innere durch B⁰ = {x∈ B : U_ε(x) ⊆B f¨ur ein ε > 0} und den Rand durch ∂B ={x ∈R^d : Uε(x)∩B 6= ∅, Uε(x)\B 6= ∅ f¨ur alle ε >0}. F¨ur eine offene Menge B⊆R^d giltB⁰ =B.

Beispiel: Sei B = {(x, y) ∈ R² : 4x²+ 9y² ≤ 1}, eine Ellipse. Die Menge B ist abge- schlossen. F¨ur (x, y)∈/ B, das heißt 4x²+ 9y² >1, existiert einε >0 mitU_ε(x, y)∩B=∅. Weiters gilt B⁰ ={(x, y)∈ R² : 4x²+ 9y² < 1} und ∂B ={(x, y)∈ R² : 4x²+ 9y² = 1}, wie man ebenfalls leicht mit Hilfe der Definitionen nachpr¨uft.

Wir k¨onnen Folgen (xn)n≥0 im R^d untersuchen und Grenzwerte definieren.

Definition: Man nennt x∈R^d Grenzwert der Folge (xn)n≥0, wenn f¨ur jedesε > 0 einn0

existiert, sodass kx_n−xk< ε f¨ur alle n≥ n₀ gilt, das heißt x_n ∈ U_ε(x) f¨ur alle n≥ n₀. Man schreibt limn→∞xn =x.

Folgen, die einen Grenzwert besitzen, heißen konvergent. Der Grenzwert einer Folge (xn)n≥0 ist, falls er existiert, eindeutig bestimmt. Sind xund yzwei verschiedene Punkte in R^d, dann findet man einε > 0, zum Beispiel ε = ^∥x−y∥₂ , sodass Uε(x)∩Uε(y) =∅ gilt.

Ist x Grenzwert, dann gibt es ein n₀, sodass x_n ∈ U_ε(x) f¨ur alle n ≥ n₀ gilt. Dann gilt aber xn∈/ Uε(y) f¨ur allen≥n0 und y kann nicht Grenzwert sein.

Eine Folge (xn)n≥0 heißt beschr¨ankt, wenn ein c > 0 existiert mit kxnk ≤ c f¨ur alle n≥0. Man kann zeigen, dass eine konvergente Folge beschr¨ankt ist.

Sei D eine Teilmenge vonR^d. Wird jedem Punkt x∈D in eindeutiger Weise eine reelle Zahl f(x) zugeordnet, dann nennt man f eine Funktion mit Definitionsbereich D und Werten in R. Man schreibt f :D →R.

Als Beispiele kann man Polynome in mehreren Variablen angeben. Polynome in zwei Variablen sind Funktionen der Form f(x, y) =Pn

i=0

Pn

j=0aijxⁱy^j mit aij ∈R. Polynome in drei Variablen sind Funktionen der Form f(x, y, z) = Pn

i=0

Pn j=0

Pn

k=0aijkxⁱy^jz^k mit aijk ∈R. Konkrete Beispiele sind x²+ 3xy²−1 und 2xyz−5yz³+x.

Wir k¨onnen mit Funktionen rechnen. Sind f1 und f2 Funktionen mit Definitionsberei- chen D1 und D2, dann kann man sie auf D = D1 ∩D2 einschr¨anken und auf der Menge D dann Summe, Differenz und Produkt dieser Funktionen bilden. Man definiert f1 +f2

als die Funktion, die jedem x ∈ D den Wert f1(x) +f2(x) zuordnet. Genauso definiert man f1−f2 undf1·f2. Mit dem Quotient ^f_f¹

2 muss man vorsichtiger sein. Man muss alle Punkte x aus dem Definitionsbereich ausschließen, f¨ur die f₂(x) = 0 gilt.

Analog wie im Eindimensionalen definieren wir die Stetigkeit von Funktionen.

Definition: Sei D⊆ R^d und f :D→R eine Funktion. Seix∈D. Die Funktion f heißt stetig im Punkt x, falls f¨ur jedesε >0 ein δ >0 existiert, sodass|f(y)−f(x)|< ε f¨ur alle y∈Uδ(x)∩D gilt. Man sagt f ist stetig auf D, wenn f in jedem Punkt x∈D stetig ist.

Die Beiweise der folgenden beiden S¨atze verlaufen dann analog wie f¨ur Funktionen im Eindimensionalen.

Satz 1.2: Sei D⊆R^d undf :D→R eine Funktion. Sei x∈D. Dann sind ¨aquivalent (a) f ist im Punkt x stetig

(b) f¨ur jede Folge (x_n)_n≥0 in D mit lim_n→∞x_n=x gilt lim_n→∞f(x_n) =f(x)

Satz 1.3: Sei D⊆R^d. Seien f :D→R undg :D →R Funktionen, die im Punkt x∈D stetig sind. Dann sind auch die Funktionen f +g, f −g und f g im Punkt x stetig. Ist g(x)6= 0, dann ist auch ^f_g im Punkt xstetig.

Sei D eine Teilmenge vonR^d. Wird jedem Punkt x∈D in eindeutiger Weise ein Punkt g(x) im R^p zugeordnet, dann nennt man g eine Funktion mit Definitionsbereich D und Werten in R^p. Man schreibt g : D → R^p. F¨ur jedes x ∈ D ist g(x) ein Element von R^p, das wir in Koordinaten (g₁(x), g₂(x), . . . , g_p(x)) schreiben k¨onnen. F¨ur 1 ≤ j ≤ p ist g_j eine Funktion von D nach R. Wir nennen diese Funktionen die Komponenten von g.

Sei D ⊆ R^d. Man nennt eine Funktion g : D → R^p im Punkt x ∈ D stetig, falls f¨ur jedes ε >0 ein δ >0 existiert, sodass kg(y)−g(x)k< ε f¨ur alle y∈U_δ(x)∩D gilt. Man sagt g ist stetig auf D, wenn g in jedem Punktx∈D stetig ist.

Satz 1.4: SeiD⊆R^d. Eine Funktiong :D→R^p ist im Punktx∈D genau dann stetig, wenn alle ihre Komponenten g1, g2, . . . , gp im Punkt x stetig sind.

Beweis: Sei g : D → R^p im Punkt x ∈ D stetig und 1 ≤ j ≤ p. Sei ε > 0 vorgegeben.

Es existiert ein δ > 0, sodass kg(y) −g(x)k < ε f¨ur alle y ∈ Uδ(x)∩D gilt. Wegen

|g_j(y)−g_j(x)| ≤ kg(y)−g(x)k gilt dann auch |g_j(y)−g_j(x)|< ε f¨ur alle y∈U_δ(x)∩D, womit die Stetigkeit von gj im Punkt x gezeigt ist.

F¨ur 1 ≤ j ≤ p sei jetzt gj : D → R im Punkt x∈ D stetig. Sei ε >0 vorgegeben. Dann existiert ein δ_j > 0 mit |g_j(y)−g_j(x)| < ^ε_p f¨ur alle y∈ U_δj(x)∩D. Sei δ = min_1≤j≤pδ_j. Wegenkg(y)−g(x)k ≤p max1≤j≤p|gj(y)−gj(x)|undUδ(x)⊆Uδ_j(x) f¨ur allej gilt dann auch kg(y)−g(x)k< ε f¨ur alle y∈U_δ(x)∩D, das heißt g ist im Punkt xstetig.

2. Integration im Mehrdimensionalen

SeiB ⊆R² eine beschr¨ankte Menge und f :B →Reine beschr¨ankte Funktion. Gesucht ist das Volumen ¨uber der Menge B und unter dem Graphen von f, wobei Volumsanteile, die unter der x-y-Ebene liegen, negativ genommen werden. Wir gehen vor wie im Eindi- mensionalen.

a x1 x2 x_m−1 b

c y₁ y2

y_n−1 d

Sei Q = [a, b]×[c, d] ein Rechteck, das B enth¨alt. Wir setzen f(x) = 0 f¨ur x ∈ Q\B, sodass f dann auf dem Rechteck Q definiert ist. Wir definieren wieder Riemannsummen.

Seien a = x₀ < x₁ < · · · < x_m = b und c = y₀ < y₁ < · · · < y_n = d Zerlegungen der Intervalle [a, b] und [c, d]. Dann istPm

i=1

Pn

j=1(xi−xi−1)(yj−yj−1) sup_{[xi−1,xi]×[yj−1,yj]}f die Obersumme und Pm

i=1

Pn

j=1(xi − xi−1)(yj − yj−1) inf_{[xi−1,xi]×[yj−1,yj]}f die Unter- summe zu diesen Zerlegungen. Und die Summen Pm

i=1

Pn

j=1(xi−xi−1)(yj −yj−1)f(ξij) mit ξij ∈ [xi−1, xi] × [yj−1, yj] nennen

wir Riemannsummen zu den gegebenen Zerlegungen. Es gelten dieselben Resul- tate wie im Eindimensionalen. Bei Ver- feinerung der Zerlegungen wird die Un- tersumme gr¨oßer oder bleibt gleich und die Obersumme wird kleiner oder bleibt gleich. Es existiert das Supremum U(f) der Untersummen und das Infimum O(f) der Obersummen und es giltU(f)≤O(f).

Ist U(f) = O(f), dann sagt man, dass f

¨

uber die Menge B integrierbar ist, und schreibt R

Bf(x) dx f¨ur U(f) = O(f). In diesem Fall kann man auch wieder zeigen, dass f¨ur Folgen von Zerlegungen, deren Gitterweiten gegen 0 geht, jede zugeh¨orige Folge von Riemannsummen gegen R

Bf(x) dxkonvergiert.

Um Integrale ausrechnen zu k¨onnen, muss der Integrationsbereich B eine spezielle Gestalt haben. Man nennt B einen Normalbereich bez¨uglich der x-Achse, wenn ein In- tervall [a, b] und stetige Funktionen g1 : [a, b] → R und g2 : [a, b] → R mit g1 ≤ g2

existieren, sodass B = {(x, y) ∈ R² : a ≤ x ≤ b, g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x)} gilt. Ganz analog nennt man B einen Normalbereich bez¨uglich der y-Achse, wenn ein Intervall [c, d] und stetige Funktionen h₁ : [c, d] → R und h₂ : [c, d] → R mit h₁ ≤ h₂ existieren, sodass B ={(x, y) ∈ R² : c ≤y ≤d, h1(y) ≤x ≤ h2(y)} gilt. Der oben gezeichnete Bereich ist ein Normalbereich bez¨uglich der x-Achse, nicht aber bez¨uglich der y-Achse. Wir haben dann folgenden Satz

Satz 1.5 (Satz von Fubini) Sei B = {(x, y) ∈ R² : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} ein Normalbereich bez¨uglich der x-Achse und f : B → R stetig. Dann ist f uber die Menge¨ B integrierbar und es gilt R

Bf(x, y) d(x, y) =Rb a

Rg2(x)

g₁(x) f(x, y) dydx.

Sei B = {(x, y) ∈ R² : c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)} ein Normalbereich bez¨uglich der y-Achse und f : B → R stetig. Dann ist f uber die Menge¨ B integrierbar und es gilt R

Bf(x, y) d(x, y) =Rd c

Rh2(y)

h₁(y) f(x, y) dxdy.

Wir f¨uhren keinen genauen Beweis. Aber man kann die Richtigkeit dieses Resultats leicht erkennen. Das Integral R

Bf(x, y) d(x, y) ist der Grenzwert der Riemannsummen Pm

i=1

Pn

j=1(xi−xi−1)(yj−yj−1)f(xi, yj) ¨uber Folgen von Zerlegungen, deren Gitterweiten gegen 0 gehen. Wenn wir jetzt B = {(x, y) ∈ R² : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} annehmen, dann ist Pn

j=1(y_j−y_j−1)f(x_i, y_j) eine Riemannsumme f¨ur das eindimensionale Integral Rg2(xi)

g1(xi) f(x_i, y) dy. Man beachte, dass f außerhalb von B gleich 0 gesetzt wurde.

Setzt man u(x) =Rg2(x)

g₁(x) f(x, y) dy, dann gilt alsou(x_i)≈Pn

j=1(y_j−y_j−1)f(x_i, y_j), wobei bei feiner werdenen Zerlegungen die Approximation immer genauer wird. Setzt man das ein, so erh¨alt manPm

i=1

Pn

j=1(x_i−x_i−1)(y_j−y_j−1)f(x_i, y_j)≈Pm

i=1(x_i−x_i−1)u(x_i). Hier steht links eine Riemannsumme f¨ur R

Bf(x, y) d(x, y) und rechts eine Riemannsumme f¨ur Rb

au(x) dx. Im Grenzwert f¨ur immer feiner werdende Zerlegungen wird aus der ungef¨ahren Gleichheit eine Gleichheit, die linke Seite geht gegenR

Bf(x, y) d(x, y) und die rechte Seite gegen Rb

a u(x) dx. Somit erhalten wir R

Bf(x, y) d(x, y) = Rb

a u(x) dx. Das ist bereits das gesuchte Resultat.

Analoge ¨Uberlegungen gelten f¨ur einen Normalbereich bez¨uglich dery-Achse. Es werden nur die beiden Koordinaten vertauscht.

Beispiel: Wir berechnenR

Bf(x, y) d(x, y) mitf(x, y) = 2x+3y+1 undB = [−1,1]×[0,2].

Wir erhalten R

Bf(x, y) d(x, y) = R2 0

R1

−12x + 3y+ 1 dxdy = R2

0(x² + 3xy+x)¹

−1dy = R2

0 1 + 3y+ 1−(1−3y−1) dy=R2

0 6y+ 2 dy= 3y²+ 2y²

0 = 12 + 4 = 16. Man kann auch die Reihenfolge der Integrale vertauschen R

Bf(x, y) d(x, y) = R1

−1

R2

0 2x+ 3y+ 1 dydx = R1

−1(2xy+³₂y²+y)²

0dx=R1

−14x+ 6 + 2 dx=R1

−14x+ 8 dx= 2x²+ 8x¹

−1= 2 + 8−(2−8) = 16.

Beispiel: Sei f(x, y) = 2x+ 3y+ 1 undB die Fl¨ache zwischen den Parabelny² =x und y² = 4(x−3). Wir berechnenR

Bf(x, y) d(x, y). Die erste der Parabeln hat Scheitel (0,0), die zweite (3,0). Sie schneiden sich in den Punkten (4,2) und (4,−2). Wir erhalten f¨urB den Normalbereich {(x, y)∈ R² : −2≤ y ≤2, y² ≤x ≤ ¹₄y²+ 3} bez¨uglich der y-Achse.

Es gilt R

Bf(x, y) d(x, y) = R2

−2

R ¹₄y²+3

y² 2x+ 3y+ 1 dxdy =R2

−2(x²+ 3xy+x)^14y2+3

y² dy = R2

−2(¹₄y²+3)²+3y(¹₄y²+3)+¹₄y²+3−y⁴−3y³−y²dy=R2

−2−¹⁵₁₆y⁴−⁹₄y³+³₄y²+9y+12 dy=

−₁₆³ y⁵− ₁₆⁹ y⁴+ ¹₄y³+ ⁹₂y²+ 12y²

−2 =−12 + 4 + 48 = 40.

0 1

0 1

Beispiel: Wir schreiben den Normalbereich B = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1,^x₂ ≤ y ≤ √³ x} in einen Normalbereich bez¨uglich der y-Achse um. Es ergibt sich

0≤ ^x₂ ≤yundy ≤ √³

x≤1, woraus 0≤y ≤1 folgt. Weiters gilt y ≤ √³

x ⇔ y³ ≤xund ^x₂ ≤y ⇔ x ≤2y. Man muss auch noch 0 ≤ x ≤ 1 ber¨ucksichtigen, sodass y³ ≤ x ≤ min(2y,1) folgt.

Wir erhalten B = {(x, y) : 0 ≤ y ≤ 1, y³ ≤ x ≤ min(2y,1)}. Will man ¨uber diesen Normalbereich B integrieren, so schreibt man B = B1∪B2 mit B1 = {(x, y) : 0 ≤ y ≤ ¹₂, y³ ≤ x ≤ 2y} und B2 = {(x, y) : ¹₂ ≤ y ≤ 1, y³ ≤ x ≤ 1} und berechnet die Integrale ¨uber B1 und B2 getrennt und addiert sie dann.

Beispiel: Wir berechnen das Volumen des Schnittk¨orpers zweier Zylinder, die beide Ra- diusrhaben und deren Achsen diex-Achse bzw. diey-Achse sind. Aus Symmetriegr¨unden

gen¨ugt es, den Teil des Schnittk¨orpers zu betrachten, der ¨uber der Fl¨ache B = {(x, y) : 0≤ x≤r, 0≤y≤x} liegt. Das ist ein Sechzehntel des Schnittk¨orpers. Oberhalb von B wird der Schnittk¨orper durch die Funktion f(x, y) = √

r²−x² begrenzt. Wir berechnen R

Bf(x) dx = Rr 0

Rx 0

√r²−x²dydx = Rr 0 x√

r²−x²dx = −¹₃(r² −x²)^3/2r

0 = ¹₃r³. Das Volumen des Schnittk¨orpers ist daher ¹⁶₃ r³.

Analog definiert man IntegraleR

Bf(x) dxf¨ur eine beschr¨ankte TeilmengeB desR^d und eine beschr¨ankte Funktion f : B → R. Man kann wieder Normalbereiche einf¨uhren und Integrale ¨uber Normalbereiche alsd-fache Integrale schreiben. Ein Normalbereich imR³ ist eine Menge B = {(x, y, z) ∈R³ :a ≤ x≤ b, g1(x)≤ y≤ g2(x), h1(x, y)≤ z ≤h2(x, y)}, wobei a < b gilt, g₁ und g₂ sind stetige Funktionen von [a, b] nach R mit g₁ ≤ g₂, und h1 und h2 sind stetige Funktionen von {(x, y) : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} nach R mit h₁ ≤h₂. Dann gilt R

Bf(x, y, z) d(x, y, z) = Rb a

Rg2(x) g₁(x)

Rh2(x,y)

h₁(x,y) f(x, y, z) dzdydx. Man kann also ein Integral ¨uber einen Normalbereich im R³ als dreifaches Integral berechnen.

Beispiel: Sei B der Bereich, der oberhalb der x-y-Ebene und der x-z-Ebene liegt und unterhalb der Fl¨achex²+y+z = 4. Das ist der Bereich, der durch die Ungleichungenz ≥0, y ≥0 undx²+y+z ≤4 bestimmt wird. Seif(x, y, z) = 1 +x. Wir berechnen R

Bf(x) dx.

Wir schreiben B als Normalbereich. Aus obigen Ungleichungen folgt x² ≤ 4, das heißt x ∈[−2,2]. Wegenz ≥0 erhalten wiry ≤4−x². Schließlich gilt auchz ≤4−x²−y. Somit haben wir B={(x, y, z)∈R³ :−2≤x≤ 2, 0 ≤y≤4−x², 0≤z ≤4−x²−y}. Damit k¨onnen wir dann das Integral berechnen: R

Bf(x) dx=R2

−2

R4−x² 0

R4−x²−y

0 1 +xdzdydx= R2

−2

R4−x²

0 (1 +x)z^4−x2−y

0 dydx = R2

−2

R4−x²

0 (1 +x)(4−x² −y) dydx = R2

−2(1 +x)(4y− x²y−¹₂y²)^4−x2

0 dx=R2

−2(1+x)(8−4x²+¹₂x⁴) dx=R2

−28−4x²+¹₂x⁴+8x−4x³+¹₂x⁵dx= 8x− ⁴₃x³+ ₁₀¹ x⁵+ 4x²−x⁴+ ₁₂¹ x⁶²

−2 = 2(16− ³²₃ + ³²₁₀) = ⁵¹²₁₅ .

Als Anwendung des dreidimensionalen Integrals bestimmen wir dieMasse eines K¨orpers.

Sei B eine integrierbare Teilmenge des R³ und ϱ : B → R⁺ stetig. Durch ϱ(x, y, z) ist die Dichte im Punkt (x, y, z) gegeben. Wir bilden eine Zerlegung des K¨orpersB in kleine W¨urfel. Die Masse eines kleinen W¨urfels [x_i−1, x_i]×[y_j−1, y_j]×[z_k−1, z_k] ist n¨aherungsweise das Produkt des W¨urfelvolumens mit der Dichte ϱ(xi, yj, zk). Die Masse des K¨orpers B wird daher approximiert durch P

i

P

j

P

k(x_i −x_i−1)(y_j −y_j−1)(z_k −z_k−1)ϱ(x_i, y_j, z_k), wobei die Approximation umso genauer wird, je kleiner die Gitterweite der Zerlegung ist.

Das sind Riemannsummen. Im Grenzwert erh¨alt man das Integral R

Bϱ(x, y, z) d(x, y, z), das dann die Masse des K¨orpers angibt.

Beispiel: Wir berechnen die Masse einer Halbkugel mit Radius r und (0,0,0) als Mit- telpunkt, die unterhalb der x-y-Ebene liegt und deren Dichte ϱ(x, y, z) =|z|ist, das heißt mit der Entfernung von der x-y-Ebene zunimmt. Zu berechnen ist R

Bϱ(x, y, z) d(x, y, z) mitB ={(x, y, z) :−r ≤x≤r, −(r²−x²)¹² ≤y ≤(r²−x²)¹², −(r²−x²−y²)¹² ≤z ≤0}, das ist Rr

−r

R(r²−x²)¹²

−(r²−x²)¹²

R0

−(r²−x²−y²)¹² −zdzdydx=Rr

−r

R(r²−x²)¹²

−(r²−x²)¹² 1

2(r²−x²−y²) dydx=

1 2

Rr

−r2(r²−x²)(r²−x²)¹² − ²₃(r²−x²)³²dx = ²₃Rr

−r(r² −x²)³²dx. Bereits fr¨uher wurde Rr

0(r² −x²)³²dx = ^3π₁₆r⁴ berechnet. Da x 7→ (r² −x²)³² eine gerade Funktion ist, folgt Rr

−r(r²−x²)³²dx= ^3π₈ r⁴. Wir haben also R

Bϱ(x, y, z) d(x, y, z) = ^π₄r⁴.

Als weitere Anwendung des Integrals bestimmen wir den Schwerpunkt eines K¨orpers.

SeienBundϱ:B →R⁺wie oben. Wir bestimmen das Drehmoment des K¨orpers bez¨uglich der Ebene x=s1. Das Drehmoment eines kleinen W¨urfels [xi−1, xi]×[yj−1, yj]×[zk−1, zk] bez¨uglich der Ebene x = s₁ ist das Produkt der W¨urfelmasse und des Abstands des W¨urfels zur Ebene. Durch Aufsummieren ¨uber die W¨urfel in einer Zerlegung erhalten wir P

i

P

j

P

k(x_i −s₁)(x_i −x_i−1)(y_j −y_j−1)(z_k −z_k−1)ϱ(x_i, y_j, z_k) als Approximation des Drehmoments des K¨orpers bez¨uglich der Ebene. Die Approximation ist umso genauer, je kleiner die Gitterweite der Zerlegung ist. Das sind Riemannsummen. Im Grenzwert erh¨alt man das Integral R

B(x − s₁)ϱ(x, y, z) d(x, y, z). Es gibt das Drehmoment des K¨orpers bez¨uglich der Ebene x = s1 an. Genauso erh¨alt man R

B(y −s2)ϱ(x, y, z) d(x, y, z) als Drehmoment des K¨orpers bez¨uglich der Ebeney=s₂ undR

B(z−s₃)ϱ(x, y, z) d(x, y, z) als Drehmoment des K¨orpers bez¨uglich der Ebenez =s3. Setzt man diese Momente = 0 und berechnet s1, s2 und s3, so erh¨alt man die Koordinaten des Schwerpunkts:

1 M

R

Bxϱ(x, y, z) d(x, y, z), _M¹ R

Byϱ(x, y, z) d(x, y, z), _M¹ R

Bzϱ(x, y, z) d(x, y, z) Dabei ist M =R

Bϱ(x, y, z) d(x, y, z) die Masse des K¨orpers.

Beispiel: Wir berechnen den Schwerpunkt des K¨orpers mit Dichte 1, der von den Ko- ordinatenebenen und der Ebene ^x_a + ^y_b + ^z_c = 1 begrenzt wird, wobei a, b, c > 0 gilt. Da die Dichte 1 ist, ist die Masse gleich dem Volumen. Der K¨orper ist ein Kegel, dessen Grundfl¨ache ein Dreieck mit Fl¨ache ^ab₂ und dessen H¨ohecist, sodass er Volumen ¹₆abchat.

Um die x-Koordinate des Schwerpunkts zu erhalten, ist Ra 0

R_b−^xb_a

0

R_c−^xc_a−^yc_b

0 xdzdydx zu berechnen. Das ist nicht schwer. Man erh¨alt ₂₄¹ a²bc. Die x-Koordinate des Schwerpunkts ist daher ^a₄. Aus Symmetriegr¨unden ist der Schwerpunkt gleich (^a₄,^b₄,₄^c).

Beispiel: Wir berechnen den Schwerpunkt einer Achtelkugel mit Radiusr und Dichte 1.

Das ist der BereichB={(x, y, z) : 0≤x≤r, 0≤y≤(r²−x²)¹², 0≤z ≤(r²−x²−y²)¹²}. Aus Symmetriegr¨unden sind alle Koordinaten des Schwerpunkts gleich. Diey-Koordinate folgt aus Rr

0

R(r²−x²)¹² 0

R(r²−x²−y²)¹²

0 ydzdydx = Rr

0

R(r²−x²)¹²

0 y(r² − x² −y²)¹²dydx = Rr

0 −¹₃(r²−x²−y²)^{32(r2−x2)12}

0 dx =Rr

0 1

3(r² −x²)³²dx = ₁₆^πr⁴. Es wurde ja fr¨uher schon berechnet, dass Rr

0(r² −x²)³²dx = ^3π₁₆r⁴ gilt. Da das Volumen der Achtelkugel ¹₆r³π ist, ist die y-Koordinate des Schwerpunkts ³₈r. Der Schwerpunkt ist also (³₈r,³₈r,³₈r).

3. Differenzieren im Mehrdimensionalen

Wir erinnern uns, wie die Ableitung einer Funktion f in einer Variablen definiert wurde.

Wenn lim_y→x ^f(y)_y⁻₋^f(x)_x existiert, dann heißtfim Punktxdifferenzierbar und dieser Grenz- wert, nennen wir ihn a, heißt Ableitung vonf im Punkt x. Wir k¨onnen das schreiben als limy→x f(y)−f(x)−a(y−x)

y−x = 0. Denken wir an die Definition des Grenzwerts, dann heißt das folgendes: F¨ur jedes ε > 0 existiert ein δ > 0 sodass ^{f(y)−f(x)−a(y−x)}

y−x < ε f¨ur alle y ∈(x−δ, x+δ)\ {x} gilt. Sei ℓx(y) =f(x) +a(y−x) f¨ur y ∈R. Das ist die Gleichung einer Geraden, die Anstieg a hat und im Punkt x den Wertf(x). Da a die Ableitung von f im Punktx ist, ist ℓx die Tangente an die Funktionf im Punkt x. Obige Aussage, dass f¨ur jedesε >0 einδ >0 existiert mit ^|f(y)_|y⁻₋^ℓ_x^x_|^(y)| < εf¨ur alle y∈(x−δ, x+δ)\{x}, bringt die Tatsache zum Ausdruck, dass ℓx Tangente anf im Punkt x ist.

Sei jetzt G eine offene Teilmenge von R^d und f : G → R eine Funktion. Es soll die Differenzierbarkeit vonf in einem Punktx∈Gdefiniert werden. Wennd= 2 ist, dann ist

f eine Funktion in zwei Variablen. Man kann sich f als Fl¨ache vorstellen. Die Gleichung einer Ebene, die im Punkt xden Wert f(x) hat, istℓ_x(y) =f(x) +ha,y−xi, wobei a ein Element von R^d ist. F¨urd= 2 hat man ℓx(y1, y2) =f(x1, x2) +a1(y1−x1) +a2(y2−x2).

Wenn es ein a ∈ R^d gibt, sodass ℓ_x Tangentialebene an f im Punkt x ist, dann nennt manf im Punktxdifferenzierbar. F¨urd > 2 ist die Tangentialebene nat¨urlich keine echte Ebene mehr, sondern hat Dimension d−1. Das f¨uhrt zu folgender Definition.

Definition: Sei G ⊆ R^d offen und f : G → R eine Funktion. Sei x ∈ G. Gibt es ein a ∈ R^d, sodass f¨ur jedes ε > 0 ein δ > 0 existiert mit ^|f(y)−f_∥^(x)_y−^−⟨_x∥^a,y−x⟩| < ε f¨ur alle y∈Uδ(x)\ {x}, dann sagt man, die Funktion f ist im Punkt x differenzierbar und nennt den Vektor a den Gradienten von f im Punkt x, der mit gradf(x) bezeichnet wird.

Diese Definition besagt, dassℓ_x(y) =f(x) +ha,y−xi Tangentialebene an die Funktion f im Punkt x ist. Es bleibt noch, den Gradienten a zu berechnen, falls er existiert.

Sei G⊆R^d offen undf :G→Rim Punkt x∈Gdifferenzierbar mit a= gradf(x). Sei e_j derj-te Einheitsvektor, das ist der Vektor mit Eintragung 1 in derj-ten Koordinate und Eintragungen 0 sonst. F¨urh∈Rsetzen wiry=x+hej in obiger Definition und erhalten:

F¨ur jedesε > 0 existiert einδ >0 mit ^|f(x+hej)−_|^f(x)_h| ^{−⟨a,hej⟩|} < ε f¨ur alle h∈(−δ, δ)\ {0}. Das heißt limh→0 f(x+hej)−f(x)−⟨a,hej⟩

h = 0 oder limh→0 f(x+hej)−f(x)

h =ha,eji =aj. Die j-te Koordinate a_j des Gradienten erh¨alt man also als lim_h→0 ^f(x+he_h^j)−f(x). In Koordi- natenschreibweise ist das limh→0 f(x1,...,xj−1,xj+h,xj+1,...,xd)−f(x1,...,xj−1,xj,xj+1,...,xd)

h . Das

ist die Ableitung der Funktion f, wobei man aber nur x_j als Variable auffasst und die anderen Koordinaten fest h¨alt. Das f¨uhrt zu folgender

Definition: Sei G ⊆ R^d offen und f : G → R eine Funktion. F¨ur x ∈ G und 1 ≤j ≤ d definiert man Djf(x) = limh→0

f(x+hej)−f(x)

h , falls dieser Grenzwert existiert, und nennt ihn die partielle Ableitung vonf nach derj-ten Variable. Statt D_jf schreibt man auch _∂x^∂f

j. Beispiel: Seif(x, y) = 3x²y+y⁴. Dann ist D1f(x, y) = 6xy und D2f(x, y) = 3x²+ 4y³. Mit dieser Definition ergibt sich dann gradf(x) = (D₁f(x),D₂f(x), . . . ,D_df(x)), falls f im Punkt x differenzierbar ist.

Beispiel: Sei f :R² →Rdefiniert durch f(x, y) = √^xy

x²+y² f¨ur (x, y)6= 0 und f(0,0) = 0.

Es gilt limh→0 f(h,0)−f(0,0)

h = 0 und limh→0 f(0,h)−f(0,0)

h = 0, das heißt D1f(0,0) = 0 und D₂f(0,0) = 0. W¨arefim Punkt (0,0) differenzierbar, dann h¨atten wir gradf(0,0) = (0,0) und ^|f(t,t)_∥⁻_(t,t)^f(0,0)_∥ ^−0| = ^{√ t2}

2t·√

2t = ¹₂ m¨usste gegen 0 gehen, wenn t gegen 0 geht. Das tut es aber nicht. Daher ist f im Punkt (0,0) nicht differenzierbar.

Obiges Beispiel zeigt, dass aus der Existenz der partiellen Ableitungen in einem Punkt nicht die Differenzierbarkeit in diesem Punkt folgt. Der folgende Satz ist von praktischer Bedeutung, da er ein Kriterium f¨ur die Differenzierbarkeit angibt.

Satz 1.6: Sei G ⊆ R^d offen und f : G → R eine Funktion. Sei x ∈ G. Existieren alle partiellen Ableitungen D_jf f¨ur 1≤j ≤d und sind diese stetig im Punktx, dann istf im Punkt x auch differenzierbar.

Beweis: Seiε >0. Da die partiellen Ableitungen im Punktxstetig sind, existiert einδ >0 mit U_δ(x) ⊆G und |D_jf(y)−D_jf(x)|< ^ε_d f¨ur 1 ≤j ≤d und alle y ∈U_δ(x). F¨ur y ∈G gilt f(y)−f(x) =Pd

j=1f(x1, . . . , xj−1, yj, yj+1, . . . , yd)−f(x1, . . . , xj−1, xj, yj+1, . . . , yd) und f(x1, . . . , xj−1, yj, yj+1, . . . , yd)−f(x1, . . . , xj−1, xj, yj+1, . . . , yd) = (yj −xj)Djf(zj) mit z_j = (x₁, . . . , x_j−1, η_j, y_j+1, . . . , y_d) nach dem Mittelwertsatz f¨ur Funktionen in einer Variablen, wobeiηj zwischenxj undyj liegt. Es folgtf(y)−f(x) =Pd

j=1(yj−xj)Djf(zj).

Sei jetzt y ∈Uδ(x). F¨ur 1 ≤ j ≤ d gilt kzj −xk ≤ ky−xk und daher auch zj ∈ Uδ(x).

Wegen obiger Wahl von δ folgt |D_jf(z_j) − D_jf(x)| < ^ε_d f¨ur 1 ≤ j ≤ d und daraus

|f(y)−f(x)−Pd

j=1(yj−xj)Djf(x)| ≤Pd

j=1|yj−xj|·|Djf(zj)−Djf(x)| ≤Pd

j=1|yj−xj|_d^ε. Wegen |y_j −x_j| ≤ ky−xk f¨ur 1≤ j ≤n folgt Pd

j=1|y_j −x_j|^ε_d ≤ dky−xk^ε_d =εky−xk. Damit ist ^|f(y)−f_∥^(x)_y−^−⟨_x∥^a,y−x⟩| < ε mit a = (D1f(x),D2f(x), . . . ,Ddf(x)) gezeigt. Nach Definition ist f im Punkt x differenzierbar.

Beispiele f¨ur Funktionen mit stetigen partiellen Ableitungen sind Polynome in mehreren Variablen. Wir k¨onnen auch die partiellen Ableitungen einer Funktion f : G → R^p bilden, wobei G ⊆ R^d offen ist. Das sind die partiellen Ableitungen ihrer Komponen- ten f₁, f₂, . . . , f_p, also D_jf_i f¨ur 1≤i≤p und 1≤j ≤d.

Beispiel: Sei f : R² → R² definiert durch f(x, y) = (xy, x²+y²). Dann besteht f aus den Komponenten f1 und f2 mit f1(x, y) = xy und f2(x, y) = x² +y². Die partiellen Ableitungen dieser Komponenten sind D₁f₁(x, y) = y, D₂f₁(x, y) = x, D₁f₂(x, y) = 2x und D2f2(x, y) = 2y. Diese partiellen Ableitungen sind stetig.

Schließlich beweisen wir noch eine mehrdimensionale Version der Kettenregel. Sei (a, b) ein Intervall und G ⊆ R^d offen. Seien g : (a, b) → G und f : G → R Funktionen, wobei g aus den Komponenten g1, g2, . . . , gd besteht. Dann k¨onnen wir die Funktion h = f ◦g bilden, die von (a, b) nachRgeht. Es macht also Sinn nach der Ableitungh^′(t) f¨urt ∈(a, b) zu fragen. Wir schreiben g^′(t) f¨ur (g₁^′(t), g₂^′(t), . . . , g_d^′(t)).

Satz 1.7: Sei (a, b) ein Intervall und G ⊆ R^d offen. Sei g : (a, b) → G eine Funktion mit stetigen Ableitungen und f :G→ R habe stetige partielle Ableitungen. Dann ist die Funktion h=f ◦g von (a, b) nach R ebenfalls differenzierbar und f¨ur alle t ∈(a, b) gilt

h^′(t) =hgradf(g(t)), g^′(t)i=Pd

j=1D_jf(g(t))g_j^′(t)

Beweis: Sei t ∈(a, b) und x=g(t). Weiters sei s ∈(a, b), aber s 6=t, und y=g(s). Wir berechnen den Differenzenquotienten mit Hilfe des Mittelwertsatzes

h(s)−h(t)

s−t = ^f(g(s))_s⁻₋^f(g(t))_t = ^f(y)_s⁻₋^f_t^(x)

=Pd j=1

f(x1,...,xj−1,yj,yj+1,...,yd)−f(x1,...,xj−1,xj,yj+1,...,yd) s−t

=Pd

j=1Djf(x1, . . . , xj−1, ηj, yj+1, . . . , yd)^yj_s^−x_−t^j =Pd

j=1Djf(zj)g_j^′(ξj) wobei gem¨aß dem Mittelwertsatz ξ_j zwischen s und t liegt und η_j zwischen y_j und x_j. Außerdem haben wir zj f¨ur den Punkt (x1, . . . , xj−1, ηj, yj+1, . . . , yd) geschrieben.

Nun lassen wir s gegen t gehen. Da alle Komponenten von g differenzierbar und damit stetig sind, geht dann y=g(s) gegen x=g(t) und daher wegenkx−zjk ≤ kx−yk auch z_j gegen x f¨ur 1 ≤ j ≤ d. Da die Funktionen D_jf f¨ur 1 ≤ j ≤ d nach Voraussetzung stetig sind, konvergiert dann auch Djf(zj) gegen Djf(x) = Djf(g(t)). Weiters sind f¨ur