Zu v = x 1 v 1 + . . . + x n v n ∈ V heißt x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) der Koordi- natenvektor von v bzgl. A .

Basiswechsel und

Koordinatentransformation

Durch Wahl einer Basis A = (v ₁ , v ₂ , . . . , v _n ) in einem K -Vektorraum V wird bekanntlich ein Koordinatensystem Φ _A : K ⁿ → V definiert, wobei

(x ₁ , x ₂ , . . . , x _n ) ∈ K ⁿ 7→ x ₁ v ₁ + . . . + x _n v _n ∈ V

Zu v = x 1 v 1 + . . . + x n v n ∈ V heißt x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) der Koordi- natenvektor von v bzgl. A .

Ist nun B = (w 1 , w 2 , . . . , w n ) eine weitere Basis von V (mit Koordi- natensystem Φ _B : K ⁿ → V bzw. (y 1 , y 2 , . . . , y n ) 7→ y 1 w 1 + . . . + y n w n ) , dann stellt sich die

Frage. Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Koordinatenvek- toren bzgl. A bzw. B ?

Dazu betrachten wir K ⁿ

Φ

L(T ) // K ⁿ

Φ

V

id

// V

K ^{n L(T) //}

Φ B B

B B B B B B !! K ⁿ

Φ

}}||| ||| ||

V

Die lineare Abbildung L(T ) = Φ ⁻ _B ¹ ◦ Φ _A : K ⁿ → K ⁿ wird durch die Matrix T = M _B ^A (id _V ) beschrieben.

Dieses Diagramm beschreibt die Koordinatentransformation, die Ma- trix T heißt Transformationsmatrix des Basiswechsels A 7→ B . Offenbar gilt f¨ ur ein v ∈ V , dass y = T x , wobei x der Koordinatenvektor von v bzgl. A ist und y der Koordinatenvektor von v bzgl. B ist.

Damit: Die j-te Spalte von T ist der Koordinatenvektor von v _j bzgl.

B .

Beispiel. Seien A = { (1, 0) , (1, 1) } sowie B = { ( − 1, 2) , (2, 1) } Basen

1

des R ² , also v ₁ = (1, 0) , v ₂ = (1, 1) und w ₁ = ( − 1, 2) , w ₂ = (2, 1) . (1, 0) = λ( − 1, 2) + µ(2, 1) liefert λ = − ¹ ₅ , µ = ² ₅

(1, 1) = λ( − 1, 2) + µ(2, 1) liefert λ = ¹ ₅ , µ = ³ ₅ Also ist T =

( − ¹ ₅ ¹ ₅

2 5

3 5

) .

Problemstellung. Die Basisvektoren von B = (w ₁ , . . . , w _n ) seien gegeben als Linearkombination der Vektoren von A = (v ₁ , . . . , v _n ) . Man bestimme die Transformationsmatrix von A 7→ B .

Betrachten wir die Transformationsmatrix S von B 7→ A , dann ist die j-te Spalte von S der Koordinatenvektor von w _j bzgl. A .

Folglich ist T = S ^{− 1} die gesuchte Transformtionsmatrix von A 7→ B .

Damit stellt sich die Frage nach der Bestimmung der inversen Matrix S ^{− 1} von S .

Algorithmus zur Bestimmung der inversen Matrix (Beweis folgt sp¨ ater)

Sei A ∈ M (n × n; K )

1) Schreibe A und die Einheitsmatrix E _n nebeneinander und f¨ uhre alle Operationen, die an der linken Matrix (zu Beginn A) vorgenommen werden, in gleicher Weise an der rechten Matrix (zu Beginn E _n ) durch.

A =



 



a ₁₁ . . . a _1n a ₂₁ . . . a _2n . . . . a _n1 . . . a _nn



 

 E _n =



 



1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 . . . .

0 . . . . 1



 



2) Durch Zeilenumformungen bringe A auf Zeilenstufenform.

Ist Zeilenrang A < n , dann ist A nicht invertierbar.

Ist Zeilenrang A = n , dann erzeuge durch Zeilenumformungen jeweils

2

”1” in den Elementen der Hauptdiagonale.

3) Durch weitere Zeilenumformungen erzeuge links E _n . Die Matrix auf der rechten Seite ist dann schließlich A ^{− 1} .

Beispiel. Siehe Tafel.

3