20. ¨ Ubung : Funktionen von mehreren Variablen I

Fakult¨at f¨ur Mathematik

Dr. U. Streit

H¨ohere Mathematik II (MB)

20. ¨ Ubung : Funktionen von mehreren Variablen I

20.1 Geben Sie f¨ur f den Definitionsbereich inR² bzw. R³ an.

Beschreiben Sie die Niveaumengen N_c. f(x, y) = 1

xy , f(x, y, z) = ln 1−p

x² +y²+z²−1

, f(x, y) = 1 sin 2x 20.2 Gegen welchen Wert strebt f(x, y) = y

x−y, (x6=y) f¨ur (x, y)→(0,0), wenn man sich dem Ursprung l¨angs einer Geraden in der x-y-Ebene n¨ahert ? Was folgt hieraus f¨ur den Grenzwert von f in (0,0) ?

Beschreiben Sie die Niveaumengen N_c.

20.3 Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen sowie den Gradienten.

(a) f(x, y) =x³+x²y+y³, (b) f(x, y, z) = a x

x²+y²+z² , a∈R, (c) f(x, y) =x^y

20.4 Bilden Sie alle partiellen Ableitungen zweiter und dritter Ordnung von f(x, y) =x³+x²y+y³.

20.5 Zeigen Sie, dass die partiellen Ableitungen der Funktion u(x, t) =e^−a2tsinx die Gleichung u_t=a²u_xx erf¨ullen (a∈R).

20.6 Berechnen Sie die Richtungsableitung von f(x, y) = y−1

√x + x y+ 1

an der Stelle (x⁰, y0) = (1,1) in Richtung r :

(a) r= (1 0)^⊤ (b) r = (0.6 0.8)^⊤ (c) r = (0.8 0.6)^⊤.

Finden Sie f¨ur die Stelle (x0, y0) eine Richtung, so dass die Richtungsableitung maximal wird.

Geben Sie f¨ur die Stelle (x0, y0) eine Richtung an, so dass die Richtungsableitung verschwindet.

Gibt es f¨urf eine Stelle (x¹, y1), so dass dort die Richtungsableitung in jeder Richtung verschwindet ?

20.7 Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene an die Fl¨achez =f(x, y) f¨ur x=x0 und y=y0?

(a) f(x, y) = arctanx

y, (x⁰, y0) = (2,1) (b) f(x, y) =yln(y−3x), (x0, y0) = (0,1)

Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit