Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit
29. Mai 2019H¨ohere Mathematik II (MB)
23. ¨ Ubung: Kurvenintegrale
23.1 Wie groß ist die Massemdes im ersten Quadranten liegenden BogensKder Ellipse x(t) = 2 cost , y(t) = sint ,wenn die Massendichte̺in jedem Punkt der Kurve gleich der Ordinate des Punktes ist ?
23.2 Finden Sie R
Kv dxf¨ur v= (x2+y2, xy)⊤ l¨angs (a) der Strecke vonA(0,0) nachB(2,2),
(b) des Parabelbogens y=x22 vonA(0,0) nachB(2,2). 23.3 Berechnen Sie u
Kv dx mit v= (x+y+z+ 1,3x+ 2y−z−2,5x−y+z+ 7)⊤ l¨angs des geschlossenen StreckenzugesABCAmitA(0,0,0),B(2,3,0),C(2,3,4).
23.4 Zeigen Sie, dassv= (cos 2y,−2xsin 2y)⊤ Potentialfeld ist.
Bestimmen Sie das Potential vonv. Berechnen SieR
Kv dx f¨ur eine regul¨are KurveK von A 1,π6
nachB 2,π4
.
23.5 Berechnen Sie die Rotation vonv. (a) v= (x2+y z+z , y+x z , x y z)⊤ (b)v= (1 +y+y z , x+x z , x y)⊤
23.6 F¨ur welche Parameterα , β∈R ist das Kurvenintegral Z
K
(αx2y+z2)dx+ (x3+ 2yz)dy+ (y2+βxz)dz wegunabh¨angig ?
Ermitteln Sie in diesem Fall das zugeh¨orige Potential.
23.7 Berechnen Sie u
Kv dx f¨ur v= (v1, v2)⊤ mitv1=− y
x2+y2, v2= x x2+y2 l¨angs des EinheitskreisesK.
Wieso verschwindet das Integral nicht, obwohl (v1)y= (v2)x gilt ?
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Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit
31. Mai 2019H¨ohere Mathematik II (MB)
24. ¨ Ubung : Bereichsintegrale
24.1 Die Auswertung des Bereichsintegrals R RB
f db mitf(x, y) =√xy und einem NormalbereichB f¨uhrt auf das Doppelintegral
a
R
0
x R
0
f dy
dx , a >0. (a) Berechnen Sie das Doppelintegral.
(b) Beschreiben Sie den NormalbereichB.
(c) Beschreiben SieB als Normalbereich mit vertauschten Koordinaten, und berechnen Sie das zugeh¨orige Doppelintegral.
24.2 Vertauschen Sie die Integrationsreihenfolge in
0
R
−2
! 0 R
y2−4
y3dx
# dy , und berechnen Sie das entstandene Doppelintegral.
24.3 Berechnen Sie das Integral R R
B
f db ,wobei der NormalbereichBvon den angegebenen Kurven begrenzt wird.
(a) f(x, y) =y , y=x, xy= 4, x= 4, (b) f(x, y) =y2, y= lnx, x−y= 1, y=−1.
24.4 Finden Sie den geometrischen SchwerpunktS(xS, yS) des ebenen Bereiches B={(x, y)∈R2:y2≤8x, y≥0, 0≤x≤2}.
Uberpr¨ufen Sie die G¨ultigkeit der Guldinschen Regel :¨
Das Volumen eines Rotationsk¨orpers ist gleich dem Produkt aus dem Inhalt der erzeugenden Fl¨ache und dem Umfang des vom Fl¨achenschwerpunkt erzeugten Kreises.
24.5 Ermitteln Sie das von den angegebenen Fl¨achen begrenzte Volumen.
Wechseln Sie gegebenenfalls das Koordinatensystem.
(a) z=x2+y2, x+y= 4, x= 0, y= 0, z= 0.
(b) x2+y2= 1, x2+y2= 4, z= 0, z=x+ 2.
24.6 Berechnen Sie f¨ur den r¨aumlichen Normalbereich
B={(x, y, z) : 0≤x≤1,0≤y≤x, 0≤z≤x+ 3y+ 1}
(a) das Volumen V=RRR
B
1db ,
(b) den geometrischen SchwerpunktS(xS, yS, zS).
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