Technische Universit¨ at Chemnitz Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Technische Universit¨ at Chemnitz Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Priv.-Doz. Dr. Ch. Mehl & V. Sokolov

4. ¨ Ubung Kontrolltheorie (WS 04/05)

Aufgabe 1: (Charakterisierung der Beobachtbarkeit)

Zeige, daß ein LTI System ˙x=Ax+Bu, y =Cx,x(0) =x⁰ mit Λ(A)⊂C⁻ genau dann beobachtbar ist, wenn die Lyapunovgleichung

A^TQ+QA+C^TC= 0 eine eindeutige, positiv definite L¨osung hat.

Aufgabe 2: (Partielle Stabilisierung)

Es sei (A, B)∈R^n×n×R^n×m undnsehr groß, alson >1000. Oft sind nur wenige Eigenwerte (Pole des Systems) vonA instabil, haben also nicht-negativen Realteil. Deshalb ist es eigentlich nicht notwendig, das gesamte System zu stabilisieren — es reicht, die instabilen Pole durch ein Zustandsfeedback in die offene linke Halbebene zu bringen. Nehme dazu an, daß

Λ(A) = Λ⁻∪Λ+:={λ1, . . . , λk} ∪ {λk+1, . . . , λn} mit Re(λj)<0 f¨urj= 1, . . . , k und Re(λj)≥0 f¨urj=k+ 1, . . . , n.

a) Entwickle einen Algorithmus zur partiellen Stabilisierung basierend auf der Schurform vonA. Der Algorithmus soll alsoF ∈R^m×nso berechnen, daß Λ(A+BF) = Λ⁻∪ {µk+1, . . . , µn}, Re(µj)<0.

b) Partielle Stabilisierung l¨aßt sich auch mit Hilfe derSignumfunktions-Methode durchf¨uhren. Sei dazu Re(λ)6= 0 f¨ur alleλ∈Λ(A) und

A=S

· J⁻ 0 0 J+

¸

S⁻¹, Λ(J⁻) = Λ⁻, Λ(J+) = Λ+, die Jordan-Normalform von A. Dann ist

sign(A) :=S

· −Ik 0 0 In−k

¸ S⁻¹.

(i) Zeige: F¨ur jede invertierbare MatrixT ∈R^n×n gilt: sign(T AT⁻¹) =Tsign(A)T⁻¹.

(ii) Zeige:P⁻ := ¹₂(I−sign(A)) ist ein Projektor auf S⁻, den A-invarianten Unterraum zu Λ⁻. (D.h.,P−² =P⁻, Bild(P⁻) =S⁻). Was ist der Rang von P⁻?

(iii) Sei

P−=QRP =Q

· R1 R2

0 0

¸ P

eine QR Zerlegung mit Spaltenpivotisierung vonP⁻, d.h.Q∈R^n×nist orthogonal,R1∈R^k×k ist regul¨are obere Dreiecksmatrix, undP ist eine Permutationsmatrix. Zeige:

Q^TAQ=

· A1 A2

0 A3

¸

, Λ(A1) = Λ⁻, Λ(A3) = Λ+.

(iv) SeienG∈R^n×n, H ∈R^m×m,W ∈R^n×m mit Λ(G),Λ(H)⊂C⁺ und betrachte die Sylvester- gleichung

GX+XH =W Zeige:

sign

µ· G W

0 −H

¸¶

=

· In 2X 0 −Im

¸ , wobei X die L¨osung obiger Sylvestergleichung ist.

(v) Es gilt sign(A) = limj→∞Aj, wobei

A0:=A, Aj+1= 1

2(Aj+A⁻¹_j ), j = 1,2, . . . .

Entwickle und implementiere damit einen Algorithmus zur partiellen Stabilisierung basierend auf (iii), (iv) und dem folgenden Satz aus der Vorlesung:

Satz 1 Es sei (A, B)∈R^n×n×R^n×m stabilisierbar undβ∈Rmit β > ρ(A), wobei

ρ(A) = max{ |λ|: λ∈Λ(A)} der Spektralradius von A ist. Ist X die eindeutige L¨osung der Lyapunov-Gleichung

(A+βI)X+X(A+βI)^>= 2BB^>, dann ist F=−B^>Z⁺ eine stabilisierende Feedback-Matrix von(A, B).

Aufgabe 3: (Positiv semidefinite Matrizen) SeiA=

· A1 A2

A^>2 0

¸

eine symmetrische positiv semidefinite Matrix. Beweise, daß unter dieser Voraus- setzungA2= 0 gilt.