Fakult¨at f¨ur Mathematik

Fakult¨at f¨ur Mathematik

Dr. U. Streit

H¨ohere Mathematik II (MB)

23. ¨ Ubung: Kurvenintegrale

23.1 Wie groß ist die Masse m des im ersten Quadranten liegenden Bogens K der Ellipse x(t) = 2 cost , y(t) = sint , wenn die Massendichte ̺ in jedem Punkt der Kurve gleich der Ordinate des Punktes ist ?

23.2 Finden Sie R

Kv dx f¨ur v = (x²+y², xy)^⊤ l¨angs (a) der Strecke von A(0,0) nachB(2,2),

(b) des Parabelbogens y= ^x2² von A(0,0) nach B(2,2). 23.3 Berechnen Sie u

Kv dx mit v = (x+y+z+ 1, 3x+ 2y−z−2,5x−y+z+ 7)^⊤ l¨angs des geschlossenen Streckenzuges ABCA mit A(0,0,0),B(2,3,0),C(2,3,4).

23.4 Zeigen Sie, dass v = (cos 2y, −2xsin 2y)^⊤ Potentialfeld ist.

Bestimmen Sie das Potential vonv. Berechnen SieR

Kv dx f¨ur eine regul¨are Kurve K von A 1,^π₆

nach B 2,^π₄ .

23.5 Berechnen Sie die Rotation von v. (a) v = (x²+y z+z , y+x z , x y z)^⊤ (b) v = (1 +y+y z , x+x z , x y)^⊤

23.6 F¨ur welche Parameter α , β ∈R ist das Kurvenintegral Z

K

(αx²y+z²)dx+ (x³ + 2yz)dy+ (y²+βxz)dz wegunabh¨angig ?

Ermitteln Sie in diesem Fall das zugeh¨orige Potential.

23.7 Berechnen Sie u

Kv dx f¨ur v = (v¹, v2)^⊤ mit v1 =− y

x²+y² , v2 = x x²+y² l¨angs des Einheitskreises K.

Wieso verschwindet das Integral nicht, obwohl (v1)y = (v2)x gilt ?

Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit