Antwort zur Frage 219:
Wann sind Vektoren linear abh¨angig bzw. linear un- abh¨angig?
Die Vektoren a~1, ~a2, . . . , ~an heißen linear abh¨an- gig, wenn mindestens einer dieser Vektoren alsLin- earkombination der anderen darstellbar ist; an- dernfalls heißen die Vektorenlinear unabh¨angig. Die Vektoren a~1, ~a2, . . . , ~an sind genau dann linar unabh¨angig, wenn die Gleichungr1·a~1+r2·a~2+. . .+
rn·a~n = ~o (r1,r2, . . . ,rn ∈ R;~o = Nullvektor) genau eine L¨osung besitzt, n¨amlich:
r1=r2=. . .=rn=0
eindimensional (z.B. Zahlenstrahl)
Eine Gerade hat nur eine Ausrichtung, d.h. es re- icht ein einziger (Richtungs-)Vektor zur Beschrei- bung der Geraden. Jeder weitere Vektor auf der Geraden kann als Vielfaches (= einfachste Linear- kombination) des ersten Vektors dargestellt werden.
zweidimensional (z.B.xy-Koordinatensystem) Eine Ebene hat zwei (Spann-)Vektoren, d.h. es rei- chen zwei Vektoren zur Beschreibung der Lage einer Ebene. Diese beiden Vektoren d¨urfen allerd- ings nicht dieselbe Richtung haben, sondern m¨ussen linear unabh¨angig voneinander sein.
dreidimensional (z.B.x1x2x3-Koordinatensystem) Zur Beschreibung des dreidimensionalen Raumes ben¨otigt man drei Vektoren mit jeweils unter- schiedlichen Richtungen. Außerdem d¨urfen diese Vektoren nicht alle in derselben Ebene liegen, d.h.
sie m¨ussen linear unabh¨angig voneinander sein.
Jeder weitere Vektor, ist zwangsl¨aufig eine Linear- kombination der zur Beschreibung einer bestimmten Dimension gew¨ahlten Vektoren.
