Wend Werner
wwerner@uni-muenster.de
Thomas Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Mathematik f¨ur Physiker 2
Ubungsblatt 2, Abgabe bis 5. Mai 12 Uhr¨
Pr¨asenzaufgabe 1. (Lineare Unabh¨angigkeit und Erzeugendensysteme)
(a) Welche der folgenden Mengen von Vektoren aus dem R3 ist linear unabh¨angig?
Ein Erzeugendensystem? Eine Basis? Warum?
(i)
1 1 1
,
2 1 0
,
0 0 1
, (ii)
1 0 4
,
2 0 8
,
1 0 8
,
0 1 1
.
L¨osung: (i) Die Vektoren sind linear unabh¨angig: Aus
λ1
1 1 1
+λ2
2 1 0
+λ3
0 0 1
= 0
folgt bei Betrachtung der ersten zwei Komponenten leicht λ1 =λ2 = 0 und dann durch Betrachtung der dritten Komponente auchλ3 = 0. DaR3 Dimension 3 hat, erh¨alt man ein Erzeugendensystem.
(ii) Der zweite Vektor ist das Doppelte des ersten, also sind die Vektoren nicht linear unabh¨angig. Alternativ k¨onnen nicht vier Vektoren eines drei-dimensionalen Raumes linear unabh¨angig sein. Die Vektoren bilden aber ein Erzeugendensystem.
Ein Argument w¨are, dass die Einheitsvektoren alle in der linearen H¨ulle liegen:
0 0 1
=−1 4
1 0 4
+1 4
1 0 8
,
0 1 0
=−
0 0 1
+
0 1 1
,
1 0 0
=
1 0 4
−4
0 0 1
.
(b) Finden Sie λ1, . . . , λ3 und µ1, . . . , µ4 inR mit
1 0 0
=λ1
1 1 1
+λ2
2 1 0
+λ3
0 0 1
=µ1
1 0 4
+µ2
2 0 8
+µ3
1 0 8
+µ4
0 1 1
.
Sind diese Koeffizienten eindeutig?
L¨osung: Aus (a) folgt, dass die λi eindeutig sind und dieµj nicht. Eine L¨osung ist z.B.
1 0 0
=−
1 1 1
+
2 1 0
−λ3
0 0 1
= 2
1 0 4
+ 0·
2 0 8
−
1 0 8
+ 0·
0 1 1
.
Abzugeben sind alle Aufgaben 1–4.
