Wend Werner Thomas Timmermann
Ubung zur Mathematik f¨¨ ur Physiker 2, SS 15 Blatt 2
Abgabe bis Mi, 29.04., 12 Uhr
Aufgabe zur Bearbeitung in der ¨Ubung, abzugeben
Aufgabe 1. (Lineare Unabh¨angigkeit und Erzeugendensysteme)
(a) Welche der folgenden Mengen von Vektoren aus dem R3 ist linear unabh¨angig?
Ein Erzeugendensystem? Eine Basis? Warum?
(i)
1 1 1
,
2 1 0
,
0 0 1
, (ii)
1 0 4
,
2 0 8
,
1 0 8
,
0 1 1
.
(b) Finden Sie λ1, . . . , λ3 und µ1, . . . , µ4 inR mit
1 0 0
=λ1
1 1 1
+λ2
2 1 0
+λ3
0 0 1
=µ1
1 0 4
+µ2
2 0 8
+µ3
1 0 8
+µ4
0 1 1
.
Sind diese Koeffizienten eindeutig?
Aufgabe zur Bearbeitung in der ¨Ubung, nicht abzugeben
Aufgabe 2. (Schnittpunkt von Seitenhalbierenden im Dreieck)
Wir betrachten zwei linear unabh¨angige Vektoren~a,~b∈R2und das von diesen Vektoren und dem Ursprung aufgespannte Dreieck.
(a) Schreiben Sie die Mittelpunkte der drei Seiten des Dreiecks als Linearkombinatio- nen von~aund~b.
(b) Die Verbindungsstrecke zwischen dem Mittelpunkt einer Seite und dem gegen¨uberliegenden Eckpunkt heißt Seitenhalbierende. Finden Sie f¨ur jede der drei Seitenhalbieren-
den eine Parametrisierung aller darauf liegenden Punkte in der Form ~c+t ~dmit t∈[0,1] und geeigneten~c, ~d∈R2.
(c) Zeigen Sie, dass sich die drei Seitenhalbierenden in genau einem Punkt schneiden, und bestimmen Sie dessen Koordinaten.
Aufgaben zur selbst¨andigen Bearbeitung
Aufgabe 3. (Erg¨anzung konkreter Basen)
Welche der folgenden Systeme von Vektoren lassen sich zu einer Basis des jeweiligen Raums erg¨anzen? Man erg¨anze die Systeme gegebenenfalls mit Vektoren der Standard- basis zu einer Basis:
(a) (1,2,3),(1,1,1) im R3, wobeiK=R,
(b) (−1,1,0,1),(2,0,1,0),(1,3,2,3) imR4, wobei K=R, (c) (i,1,1 +i),(−i,1 +i,2) im C3, wobeiK=C.
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Wend Werner Thomas Timmermann
Aufgabe 4. (Monome als Basis der Polynomfunktionen)
Wir betrachten den VektorraumC([0,1]). Zeigen Sie, dass die Menge {Xk:k∈N} ⊂C([0,1])
linear unabh¨angig ist, wobei Xk(t) =tk f¨ur alle k∈Nund t∈[0,1].
(Hinweis: Betrachten Sie Ableitungen von Funktionen der Form Pn
i=0λiXi.) Aufgabe 5. (Basen, abstrakt)
(a) Sei{~b1, . . . ,~bn}eine Basis eines Vektorraumes V. Zeigen Sie, dass dann auch {~b1,~b1+~b2, . . . ,~b1+· · ·+~bn}
eine Basis vonV ist.
(b) SeiX eine Menge und bezeichneF(X) die Menge aller reellen Funktionen auf X.
Dann istF(X) einR-Vektorraum bez¨uglich der punktweise definierten Operatio- nen, also (f +g)(x) :=f(x) +g(x) und (λf)(x) := λf(x). F¨ur jedes x ∈ X sei δx ∈ F(X) definiert durch δx(x) = 1 und δx(y) = 0 f¨ur y 6=x. Zeigen Sie, dass {δx:x∈X} genau dann eine Basis vonF(X) ist, wenn X endlich ist.
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