Vorkurs Mathematik im WiSe 2020/21 (Variante A)
Dr. Regula Krapf Übungsblatt 9
Aufgabe 1. Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig/erzeugend?
(a) v1=
1 2 1
, v2=
0 1 2
, v3=
3 1 1
(b) v1=
2
−1 3
, v2=
7
−2
−6
, v3=
−1 0 4
Falls die Vektoren nicht linear unabhängig sind, so stellen Sie den Nullvektor als nichttriviale Linearkombination vonv1, v2, v3dar.
Aufgabe 2. Für welchea∈Rbilden die Vektoren
v1=
a 2 0
, v2=
2 a 1
und v3=
1
−1
−1
eine Basis? Stellen Sie zudem füra= 0 den Vektor
b=
1 2 1
als Linearkombination vonv1, v2, v3dar.
Aufgabe 3. Handelt es sich bei den folgenden Mengen um Untervektorräume vonR2bzw.R3? Begründen Sie Ihre Antwort. Überlegen Sie sich dies auch geometrisch.
(a) U =
x1 x2
∈R2|x1+x2= 0
(b) V =
x1 x2 x3
|x1=x2∨x1=x3
Aufgabe 4. Überlegen Sie sich (ohne Beweis), welche geometrischen Objekte Untervektorräu- me vonR3sind.
Aufgabe 5. SeiR2×2die Menge aller 2×2-Matrizen mit Koeffizienten inR. Dann ist (R2×2,+,·) einR-Vektorraum, wobei
a11 a12 a21 a22
+
b11 b12 b21 b22
:=
a11+b11 a12+b12 a21+b21 a22+b22
λ·
a11 a12 a21 a22
:=
λa11 λa12 λa21 λa22
Geben Sie (ohne Beweis) eine Basis vonR2×2an.
