(a) Zeigen Sie: Wenn die Vektoren v1

W. Werner und T. Timmermann WS 13/14 Ubung zur Mathematik f¨¨ ur Physiker III

Blatt 4

Abgabe bis Montag, 18. November, 10 Uhr Aufgabe zur Bearbeitung in der ¨Ubung

Aufgabe 1. Seien v₁, . . . , v_k ∈Rⁿ mit k ≤n und V = (v₁ v₂ · · · v_k)∈R^n×k. (a) Zeigen Sie: Wenn die Vektoren v₁, . . . , v_k linear abh¨angig sind, dann sind

die Spalten (bzw. Zeilen) von V^>V linear abh¨angig und p

det(V^>V) = 0.

(b) Sei k =n−1. F¨url = 1, . . . , n sei V(l) die Matrix, die man erh¨alt, wenn man die l-te Zeile von V streicht, und w_l = (−1)^l−1detV(l). Der Vektor w= (w₁, . . . w_n)∈Rⁿ heißt dasKreuzprodukt von v₁, . . . , vn−1. Zeigen Sie:

i) w=v₁×v₂ im Fall n= 2;

ii) hz, wi= det(z v₁ v₂ · · · vn−1) f¨ur allez ∈Rⁿ; iii) wist orthogonal zu v₁, . . . , vn−1.

Aufgaben zur selbst¨andigen Bearbeitung

Aufgabe 2. Sei w ∈ Rⁿ das Kreuzprodukt der Vektoren v₁, . . . , v_n−1 ∈ Rⁿ, definiert wie in Aufgabe 1(b). Sei V = (v₁ v₂ · · · vn−1) ∈ R^n×n−1 und W = (w v₁ v₂ · · · vn−1)∈R^n×n. Zeigen Sie:

(a) kwk⁴ = det(W^>W) (Hinweis: Aufgabe 1(b)ii)).

(b) W^>W =

kwk² 0 0 V^>V

, wobei die beiden Nullen jeweils die Null imRⁿ⁻¹ als Spalten- oder Zeilenvektor darstellen.

(c) F¨ur das Kreuzprodukt w gilt kwk=p

det(V^>V) =|Voln−1(v₁, . . . , v_k)|.

Aufgabe 3. Sei ∆ⁿ := {(x₁, . . . , x_n) ∈ Rⁿ : x_i ≥ 0, x₁+· · ·+x_n ≤ 1}. Die Jacobi-Transformationen J_n: [0,1]ⁿ →∆ⁿ sind rekursiv definiert durch

J₂ u₁

u₂

=

u₁(1−u₂) u₁u₂

, J_n+1





 u₁

... un+1





=

J_n(u₁, . . . , u_n)·(1−u_n+1) u₁u_n+1

.

Man pr¨uft leicht nach, dass sich J_n zu einem Diffeomorphismus von (0,1)ⁿ auf das Innere von ∆ⁿ einschr¨ankt.

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(a) Geben Sie J₃ und J₄ explizit an.

(b) Berechnen Sie J₂⁰(u₁, u₂) und zeigen Sie:

J_n+1⁰





 u₁

... u_n+1





=

J_n⁰(u₁, . . . , u_n)·(1−u_n+1) −J_n(u₁, . . . , u_n)

u_n+1e₁ u₁

,

wobeie1 = (1,0,· · · ,0).

(c) Zeigen Sie: Im Fall un+1 6= 1 gilt

detJ_n+1⁰





 u₁

... u_n+1





= det

J_n⁰(u₁, . . . , u_n)·(1−u_n+1) 0 u_n+1e₁ u₁+ _1−u^u1un+1

n+1

=u₁(1−u_n+1)ⁿ⁻¹detJ_n⁰(u₁, . . . , u_n).

(Hinweis: Addieren Sie in J_n+1⁰ (u1, . . . , un+1) ein Vielfaches der ersten Spalte zur letzten und entwickeln Sie dann nach der letzten Spalte.) (d) Zeigen Sie: |det(J_n⁰(u₁, . . . , u_n))|=uⁿ⁻¹₁ (1−u₃)(1−u₄)²· · ·(1−u_n)ⁿ⁻². Aufgabe 4. Berechnen Sie mit Hilfe der Jacobi-Transformation aus Aufgabe 3

(a) das Volumen der Menge ∆ⁿ ⊆Rⁿ;

(b) das Tr¨agheitsmoment der Menge ∆³ ⊆ R³ bei Rotation um die z-Achse, also R

∆³(x²+y²) d(x, y, z).

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