Blatt 11 zu Mathematik III f¨ ur Physiker

Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen 27.1.2021

Blatt 11 zu Mathematik III f¨ ur Physiker

Aufgabe 31: (15 Punkte)

a) F¨ur jedes p∈[1,∞[ ist i:S(R^d) → L^p(R^d) f 7→ f

eine stetige Einbettung.

b) F¨ur jedes p∈[1,∞[ ist S(R^d) dicht inL^p(R^d).

Aufgabe 32: (10 Punkte) Es seif ∈ L¹(R^d)

a) Zeige: Zux∈R^d, wird durch (ηxf)(y) :=f(y−x) ein Element ηxf ∈ L¹(R^d) definiert.

b) Zeige: F¨ur allek∈R^d gilt: F(η_xf)(k) =e^−ihk,xi(Ff)(k) Aufgabe 33: (15 Punkte) Zeige:

a) λ:R → R t 7→ e^−12t2

ist die einzige auf ganz Rdefinierte L¨osung des Anfangswertproblems

x⁰ =−tx, x(0) = 1.

Hinweis: Beachte Lemma 14.2.3.

b) F¨ur ψ₁ :R → C x 7→ e^−12x2

∈ S(R) istF(ψ₁) =ψ₁.

c) F¨ur ψd:R^d → C x 7→ e^−12kxk2

∈ S(R^d) ist F(ψ_d) =ψd.