Wend Werner Thomas Timmermann
Ubung zur Mathematik f¨¨ ur Physiker 2, SS 15 Blatt 4
Abgabe bis Mi, 13.05., 12 Uhr
Aufgabe zur Bearbeitung in der ¨Ubung, abzugeben
Aufgabe 1. (Elementarmatrizen)
(a) Was passiert mit den Zeilen einer n×n-Matrix, wenn man sie von links mit folgender n×n-Matrix multipliziert?
−1 0 · · · 0 0 1 . .. ...
... . .. ... 0 0 · · · 0 1
(b) Seien i, j∈ {1, . . . , n} undλ∈R. Finden Sie Matrizen
B =B(i, λ), C =C(i, j) undD =D(i, j, λ) so, dass man f¨ur jeden×n-MatrixA jeweils das Produkt
• BAausA durch Multiplikation deri-ten Zeile mitλ
• CAausA durch Vertauschung deriten und jten Zeile
• DAaus Adurch Hinzuaddieren des λ-fachen derjten zuriten Zeile erh¨alt. Zur Vereinfachung k¨onnen Sie zun¨achst i= 1 und j= 2 annehmen.
Matrizen der Form wie B, C und Dheißen Elementarmatrizen.
(c) Zeigen Sie, dass die MatrizenB, C, D invertierbar sind, und geben Sie die jeweili- gen inversen Matrizen an.
(d) Sei A eine invertierbare n×n-Matrix A. Der Gaußsche Algorithmus und (b) zeigen, dass man ElementarmatrizenX1, . . . , Xk finden kann, f¨ur die das Produkt
X1· · ·Xk·A
die Einheitsmatrix ist. Folgern Sie, dass man A als Produkt von Elementarma- trizen schreiben kann.
Aufgaben zur selbst¨andigen Bearbeitung
Aufgabe 2. (L¨osbarkeit von Gleichungssystemen)
(a) Geben Sie alle Werte vona, b∈Ran, f¨ur die das System x1−x2+ 2x3+ax4 = 3, 2x1+x2+ax3+x4 = 2,
−x1−2x2+x3+ax4 = 2, 3x1+ (4−a)x3+x4 =b
(i) unendlich viele, (ii) keine bzw. (iii) eine eindeutige L¨osung besitzt.
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(b) L¨osen Sie das Gleichungssystem f¨ur den Fall a= 0, b= 1.
Aufgabe 3. (Inverse von Matrizen)
Seit∈C, Berechnen Sie das Inverse, falls es existiert, folgender Matrizen:
(a) A=
1 t · · · tn 0 . .. ... ...
... . .. ... t 0 · · · 0 1
, (b) B =
1 0 t 0 t 1 t 1 0
.
(Der Eintrag von A an der Stelle (i, j) ist 0 im Falli > j undtj−i im Falli≤j.) Aufgabe 4. (Die multiplikative Gruppe der Quaternionen)
SeiH:=
a −¯b b ¯a
∈M(2×2,C) :a, b∈C
(die Quaternionen).
(a) Seiq =
a −¯b b a¯
∈Hund ¯q=
¯a ¯b
−b a
. Berechnen Sieq·q¯und ¯q·q.
(b) Zeigen Sie, dassH× :=H\ {0}bez¨uglich der Matrixmultiplikation ein Gruppe ist, also q·q0, q−1∈H× f¨ur alle q, q0∈H×.
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