Mathematik f¨ ur Physiker 2

Wend Werner

wwerner@uni-muenster.de

Thomas Timmermann timmermt@uni-muenster.de

Mathematik f¨ ur Physiker 2

Ubungsblatt 1, Abgabe bis 28. April 12 Uhr¨

Pr¨asenzaufgabe 1. (Symmetriegruppen) Wir betrachten ein regelm¨aßigesn-Eck in der Ebene, einen starren Tetraeder und einen starren W¨urfel mit jeweils durch- nummerierten Ecken.

(a) Wie kann man jede Symmetrie dieser Figuren durch Elemente der Permu- tationsgruppen S_n, S₄ bzw. S₈ beschreiben?

(b) Bestimmen Sie jeweils die Anzahl aller Symmetrien (einschließlich der Iden- tit¨at), indem Sie ausnutzen, dass jede Symmetrie dadurch festgelegt ist, worauf sie die Ecke 1 und die Kante zwischen den Ecken 1 und 2 abbildet.

(c) K¨onnen Sie die Anzahl der Symmetrien von Tetraeder beziehungsweise W¨urfel auch bestimmen, indem Sie schauen, wohin eine fest ausgew¨ahlte Seitenfl¨ache abgebildet wird?

Pr¨asenzaufgabe 2. (Beispiele von Gruppen) Pr¨ufen und begr¨unden Sie, ob die folgenden Mengen mit der angegebenen Verkn¨upfung jeweils eine Gruppe bilden:

(a) die Menge R\ {0} mit der Multiplikation;

(b) die Menge {exp(2kπi/n) :k = 1, . . . , n} ⊂C mit der Multiplikation;

(c) die MengeR\ {1}mit der Verkn¨upfung •, definiert durcha•b :=a+b−ab;

(d) die Menge {1, . . . ,4} mit der Verkn¨upfung ∗, wobei a∗b der Rest sei, den das Produkt ab bei Division durch 5 l¨asst.

Aufgabe 3. (Gruppenaxiome) SeiGeine nicht-leere Menge mit einer Verkn¨upfung G×G→G, (a, b)7→a·b, die folgende Bedingungen erf¨ullt:

(a) F¨ur alleg, g⁰, g⁰⁰ gilt (g·g⁰)·g⁰⁰ =g·(g⁰·g⁰⁰).

(b) Es gibt e, e⁰ ∈G mit e·g =g und g·e⁰ =g f¨ur alle g ∈G.

(c) F¨ur jedes g ∈Ggibt es Elemente ˆg,ˇg ∈G mit ˆg·g =e⁰ und g·ˇg =e.

Zeigen Sie, dass dann e = e⁰, dass f¨ur jedes g ∈ G die Elemente ˆg,gˇ ∈ G

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ubereinstimmen und eindeutig durch g bestimmt sind, und dass (G, ·) eine Gruppe ist. Geben Sie genau an, welche Bedingungen Sie jeweils verwenden.

Aufgabe 4. (Konstruktionen mit Gruppen)

(a) Seien (G,•) und (H,∗) Gruppen. Ist dann die Menge G×H aller Paare (g, h) mit g ∈Gund h∈H eine Gruppe bez¨uglich der Verkn¨upfung (g, h)· (g⁰, h⁰) = (g•g⁰, h∗h⁰)? Geben Sie einen Beweis oder ein Gegenbeispiel.

(b) Sei (G, ·) eine Gruppe undH ⊆Geine nicht-leere Teilmenge mit folgender Eigenschaft: aus a, b ∈H folgt a·b ∈H. Zeigen Sie, dass dann H mit der eingeschr¨ankten Verkn¨upfung nicht eine Gruppe zu sein braucht. Welche Zusatzeigenschaft muss man fordern, damit H selbst eine Gruppe wird?

Begr¨unden Sie Ihre Aussage.

Abzugeben sind alle Aufgaben 1–4.