Wend Werner Thomas Timmermann
Ubung zur Mathematik f¨¨ ur Physiker 2 Blatt 1
Abgabe bis Mi, 22.04., 12 Uhr
Bezeichne Sn die symmetrische Gruppe der Ordnung n, also die Menge aller Bi- jektionen der Grundmenge {1, . . . , n} mit der Komposition als Verkn¨upfung.
Aufgaben zur Bearbeitung in der ¨Ubung, nicht abzugeben Aufgabe 1. (Symmetriegruppen)
Wir betrachten ein ebenes regelm¨aßigesn-Eck in der Ebene, einen starren W¨urfel und einen starren Oktaeder mit jeweils durchnummerierten Ecken.
(a) Wie kann man jede Symmetrie dieser Figuren durch Elemente von Sn, S8 bzw. S6 beschreiben?
(b) Bestimmen Sie jeweils die Anzahl aller Symmetrien (einschließlich der Iden- tit¨at), indem Sie ausnutzen, dass jede Symmetrie dadurch festgelegt ist, worauf sie die Ecke 1 und die Kante zwischen den Ecken 1 und 2 abbildet.
Aufgabe 2. (Anschauliche Vektorrechnung)
(a) Veranschaulichen Sie sich grafisch die Kommutativit¨at und Assoziativit¨at der Vektoraddition im R2.
(b) Veranschaulichen und begr¨unden Sie grafisch das Distributivgesetz λ·(v+ w) = λ·v+λ·w f¨urλ ∈Rund v,w∈R2 mit Hilfe des Strahlensatzes.
Aufgaben zur selbst¨andigen Bearbeitung und Abgabe Aufgabe 3. (Symmetrische Gruppe)
Sei n∈N. Wir schreiben eine Bijektion π∈Sn in der Form
1 2 . . . n
π(1) π(2) . . . π(n)
.
(a) Berechnen Sie f¨ur n= 3 undn = 5 die Verkn¨upfungen 1 2 3
2 3 1
◦
1 2 3 3 1 2
,
1 2 3 4 5 3 1 4 2 5
◦
1 2 3 4 5 4 2 5 1 3
.
(Achten Sie darauf, dass π◦π0 bedeutet, dass π nach π0 angewendet wird!) (b) Zeigen Sie, dass Sn f¨urn ≥3 nicht kommutativ ist.
Aufgabe 4. (Beispiele von Gruppen)
Pr¨ufen und begr¨unden Sie, ob die folgenden Mengen mit der angegebenen Verkn¨upfung jeweils eine Gruppe bilden:
(a) die Menge R\ {0} mit der Multiplikation;
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(b) die Menge {exp(2kπi/n) :k = 1, . . . , n} ⊂C mit der Multiplikation;
(c) die Menge R\ {1}mit der Verkn¨upfung •, definiert durcha•b :=a+b−ab (Hinweis: K¨onnen Sie das Beispiel auf (a) zur¨uckf¨uhren?);
(d) die Menge {1, . . . ,12} mit der Verkn¨upfung ∗, wobeia∗b der Rest sei, den das Produkt ab bei Division durch 13 l¨asst.
Aufgabe 5. (Vektorr¨aume und Untervektorr¨aume)
Wir betrachten die Menge C[0,1] als Vektorraum wie in der Vorlesung. Pr¨ufen und begr¨unden Sie, welche der folgenden Teilmengen von C([0,1]) einen Unter- vektorraum bilden:
(a) {f ∈C[0,1] :f(0) =f(1)}, (b) {f ∈C[0,1] :f(0)·f(1) >0},
(c) {f ∈C[0,1] :f ist differenzierbar auf (0,1)},
(d) {f ∈C[0,1] :f ist nicht auf ganz (0,1) differenzierbar} ∪ {0}, wobei 0 die Funktion bezeichne, die konstant den Wert 0 annimmt.
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