Bestimmen Sie jeweils die kleinste Zahl m ∈ N mit A 6≡m B oder beweisen Sie, dass A ≡ B

10. Gruppenübung, Mathematische Logik, SS 2013

Aufgabe 1

Betrachten Sie folgende Strukturen. Bestimmen Sie jeweils die kleinste Zahl m ∈ N mit A 6≡_m B oder beweisen Sie, dass A ≡ B. Geben Sie im ersten Fall eine Formel vom Quantorenrang m an, welche die Strukturen trennt, sowie Gewinnstrategien für Herausforderer bzw. Duplikatorin in den Spielen G_m(A,B) und G_m−1(A,B).

(i) A₁ := ({1,2,3,4}, <) ; (iii) A₃ := (N, <) ; (ii) A2 := ({

n X

i=0

1

2ⁱ : n ∈ N}, <) ; (iv) A4 := ({x ∈ R: 0 ≤x < 1}, <)

Aufgabe 2

(a) Zeigen Sie, dass die Theorie T_dl der dichten linearen Ordnungen nicht vollständig ist und dass die Theorie T_dlo der dichten linearen Ordnungen ohne Endpunkte vollständig ist.

(b) Sei τ = {P,Q} mit einstelligen Relationssymbolen P und Q. Zeigen Sie, dass die Theorie der τ-Strukturen A, in denen P^A und Q^A unendlich sind und eine Partition des Universums bilden, vollständig ist. Bleibt die Theorie vollständig, auch wenn P^A und Q^A keine Partition bilden?