(b) Zeigen Sie, dass sign(τ

W. Werner und T. Timmermann SS 13 Ubung zur Mathematik f¨¨ ur Physiker II

Blatt 5

Abgabe bis Freitag, 17. Mai, 12 Uhr Aufgabe zur Bearbeitung in der ¨Ubung

Aufgabe 1. Wir betrachten die in der Vorlesung definierte Signum-Funktion sign : S_n→Q, π7→ Y

1≤i<j≤n

π(i)−π(j)

i−j .

Sei τ ∈S_n eine Transposition, die die Zahlen k, l vertauscht, wobeik < l.

(a) Bestimmen Sie die Anzahl der Fehlstellen von τ, also die Anzahl der Paare (i, j) mit 1≤i < j ≤n mit π(i)> π(j).

(b) Zeigen Sie, dass sign(τ) = −1 gilt.

Aufgaben zur selbst¨andigen Bearbeitung Aufgabe 2. Berechnen Sie das Inverse der Matrix

(a) A=









1 2 3/2 1

3 6 5 2

2 5 2 −3

4 5 14 14







 .

Bringen Sie dazu, wie im Skript auf Seite 26 erkl¨art, die erweiterte Matrix A|E₄

durch Zeilenumformungen auf die Form E₄|B

; dann istA⁻¹ =B.

Aufgabe 3. (a) Bezeichne 1_ndien×n-Einheitsmatrix und seiA∈M(n×

n,C) nilpotent, also A^m = 0 f¨ur ein m∈N. Zeigen Sie, dass dann die Matrix 1_n−A invertierbar ist. (Hinweis: Geometrische Reihe!)

(b) Seia∈C. Bestimmen Sie das Inverse der Matrix











1 a · · · aⁿ 0 . .. ... ...

... . .. ... a 0 · · · 0 1









 .

(Der Eintrag an der Stelle (i, j) ist 0 f¨ur i > j und a^j−i f¨uri≤j.) Aufgabe 4. SeienV ein reeller Vektorraum,φ:Vⁿ→Reine alternierende

Multilinearform und~v₁, . . . , ~v_n ∈V.

(a) Zeigen Sie unter Verwendung der Eigenschaften (ML1), (ML2) und (AML)₀, dass f¨ur alle 1≤i < j ≤n und α∈R gilt:

φ(~v₁, . . . , ~v_i, . . . , ~v_j, . . . , ~v_n) = φ(~v₁, . . . , ~v_i+α~v_j, . . . , ~v_j, . . . , ~v_n).

Sei nun die Menge {~v₁, . . . , ~v_n} linear abh¨angig. Zeigen Sie:

(b) Es gibt i∈ {1, . . . , n} und α_i+1, . . . , α_n∈R mit ~v_i+Pn

j=i+1α_j~v_j = 0.

(c) Es gilt φ(~v1, . . . , ~vn) = 0.

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