SS 2004
Prof.Dr. G. Nebe Andreas Martin
2. Probeklausur zur Linearen Algebra 1. Bestimmen Sie jeweils die Determinante der Matrix A.
(i)
A:=
0 0 ω ω
ω ω2 ω2 0
1 0 1 1
ω2 1 ω2 0
∈F4×4
4 , wo ω2+ω+ 1 = 0.
(ii)
A:=
1 1 1 · · · 1 1 b1 a1 a1 · · · a1 a1 b1 b2 a2 · · · a2 a2 ... ... ... ... ... b1 b2 b3 · · · bn an
∈K(n+1)×(n+1),
wobei a1, . . . , an, b1, . . . , bn Elemente eines K¨orpers K seien.
2. Bestimmen Sie jeweils das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von A. Ist A diagonalisierbar? (In Teil (i): F¨ur welche Werte von a, b, cist A diagonalisierbar?)
(i) A:=
a b 0 c
∈K2×2, wobei a, b, cElemente eines K¨orpers K seien.
(ii)
A :=
1 1 3 2i −3
−3 5 5i −7 7
0 0 1 2i 0
0 0 i −1 1
0 0 0 0 7
∈C5×5.
3. Es sei
A:=
0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1
∈F5×5
2 .
Bestimmen Sie Minimalpolynom, charakteristisches Polynom und die Zer- legung vonF5
2 in Hauptr¨aume vonA. Wie sieht die Jordansche Normalform von A aus ?
4. Bestimmen Sie eine Matrix g ∈GL4(F5) so dass g−1Ag in Jordan Normal- form ist, wo
A:=
2 2 1 2 1 2 3 3 0 4 0 3 2 4 1 1
∈F4×4
5 .
5. Es sei A∈Kn×n. Zeigen Sie, daß A und Atr ¨ahnlich sind.
6. Es sei V :=R[x]Grad≤5 der Raum der reellen Polynome vom Grad ≤5. Es sei Φ :V ×V →Rdas Skalarprodukt definiert durch
Φ(p, q) :=
Z 1
−1
p(x)q(x) dx , ∀p, q∈V.
Sei U := h1, x5i ≤ V und p := x4 ∈ V. Bestimmen Sie U⊥ sowie den Abstand von pzu U.
7. Es sei
A :=
3 −i −i i i 3 −1 1 i −1 3 1
−i 1 1 3
∈C4×4.
Bestimmen Sie eine unit¨are MatrixU, so dass U∗AU Diagonalgestalt hat.
Hinweise zur Klausur:
• Die Klausur findet am Mittwoch, 21. Juli 2004 um 16 Uhr statt.
• Sie dauert 120 Minuten.
• Keine Hilfsmittel sind erlaubt (außer Schreibutensilien).
• Bitte keine Ordner oder leere Bl¨atter mitbringen.
• Bitte nicht mit Bleistift schreiben.
• Bitte Studentenausweis mitbringen.
• Die Verteilung auf die beiden R¨aume ergibt sich aus dem Anfangsbuchsta- ben des Nachnamens.
A - J : H 3 K - Z : H 22