Bestimmen Sie (a) die Darstellungsmatrix von Φ bez¨uglich der Standardbasis {~e1, ~e2, ~e3}

Wend Werner Thomas Timmermann

Ubung zur Mathematik f¨¨ ur Physiker 2, SS 15 Blatt 6

Abgabe bis Mi, 3.06., 12 Uhr

Aufgabe zur Bearbeitung in der ¨Ubung, abzugeben

Aufgabe 1. (Beispiel eines Basiswechsels)

Seien Φ :C³ →C³ und~b1,~b2,~b3∈C³ definiert durch Φ



 x y z



=





x+ 2y+ 3z 3x+ 2y+z x+y+z



, ~b₁=



 1 1 0



, ~b₂ =



 1 0 1



, ~b₃ =



 1 1 1



.

Bestimmen Sie

(a) die Darstellungsmatrix von Φ bez¨uglich der Standardbasis {~e1, ~e2, ~e3};

(b) die TransformationsmatrixT = (t_ij)_i,j, welche~b_i=P

jt_ij~e_j erf¨ullt;

(c) die Koordinaten von~v =



 3 4 1



 und w~ =





−1

−2 0



 bez¨uglich {~b₁,~b₂,~b₃};

(d) die Darstellungsmatrix von Φ bez¨uglich {~b1,~b2,~b3}.

Aufgaben zur selbst¨andigen Bearbeitung

Aufgabe 2. (Diagonalisierung der Rekursionsmatrix f¨ur die Fibonacci-Zahlen)

Wir betrachten (wie bereits in Aufgabe 2 von Blatt 10 des letzten Semesters) die Folge (fn)n Fibonacci-Zahlen, die rekursiv definiert sind durch f0 = 0, f1 = 1 und fn+2 = f_n+1+f_n f¨ur alle n≥0. F¨ur jedes n≥0 sei

~v_(n+1):=

f_n+1 fn

∈R².

Bestimmen Sie

(a) eine MatrixA, die~v_(n+1)=Aⁿ~v₍₁₎ f¨ur alle n≥0 erf¨ullt;

(b) die Eigenwerte und Eigenvektoren von A;

(c) Zahlen λ1, λ2, c1, c2 ∈C so, dass fn =c1λⁿ₁ +c2λⁿ₂ f¨ur alle n∈N gilt, indem Sie

~v₍₁₎ als Linearkombination von Eigenvektoren von A schreiben;

Aufgabe 3. (Diagonalisierbarkeit linearer Abbildungen)

BezeichneVnwie in Aufgabe 3 von Blatt 3 den komplexen Vektorraum aller Polynome vom Grad kleiner gleich n und D, T_a:V_n →V_n den Ableitungs- und den Translation- soperator, definiert durch

D(P) :=P⁰ = ∂

∂XP und (TaP)(X^k) := (X+a)^k

f¨urk= 0, . . . , nund ein festesa∈C\ {0}. Zeigen Sie, dass wederDnochTa diagonal- isierbar sind.

(Hinweis: Was kann man ¨uber den Leitkoeffizienten eines Polynoms sagen, das ein Eigenvektor vonD oder von P ist?)

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Wend Werner Thomas Timmermann

Aufgabe 4. (Duale Vektorr¨aume, duale Basen und duale Abbildungen) SeiV einK-Vektorraum mit Basis B = (~v1, . . . , ~vn). Der duale Vektorraum

V^∗ =L(V,K)

ist der Raum aller Linearformen aufV, also aller linearen Abbildungen vonV nachK. (a) Zeigen Sie, dass es f¨ur jedes j ∈ {1, . . . , n} genau ein Element ~v_j^∗ ∈ V^∗ gibt mit

der Eigenschaft

~

v_j^∗(~v_j) = 1 und ~v_j^∗(~v_i) = 0 f¨ur alle i∈ {1, . . . , n} \ {j},

und bestimmen Sie die Matrix zu~v_j^∗ bez¨uglich der BasisB von V und der Basis (1) vonK. (Dies ist eine 1×n-Matrix, also ein Zeilenvektor).

(b) Zeigen Sie, dass B^∗ := (~v₁^∗, . . . , ~v_n^∗) eine Basis von V^∗ ist. Diese wird die zu B duale Basis genannt.

Sei nun W ein K-Vektorraum mit Basis C = (w~1, . . . , ~wm) und sei Φ :V → W eine lineare Abbildung mit Darstellungsmatrix A:=M(Φ)_B,C. Dann ist die Abbildung

Φ^∗:W^∗ →V^∗, φ7→φ◦Φ, linear und wird die zu Φ duale Abbildung genannt.

(c) Sei φ:W → K eine lineare Abbildung und der Zeilenvektor λ₁ . . . λ_m die Matrix vonφbez¨uglich C (und der Basis (1) vonK). Zeigen Sie, dass die Matrix von Φ^∗(φ) bez¨uglich B das Matrixprodukt λ₁ . . . λ_m

A ist.

(d) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von Φ^∗ bez¨uglich der BasenC^∗ und B^∗.

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