Wend Werner
wwerner@uni-muenster.de
Thomas Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Mathematik f¨ur Physiker 3
Ubungsblatt 1, Abgabe bis ??. Oktober 12 Uhr¨
Pr¨asenzaufgabe 1. (Bogenl¨ange einer Kurve)
Ein Rad mit Radius r rolle auf der x-Achse in der xy-Ebene, hierbei bewege sich der Mittelpunkt des Rades mit der konstanten Geschwindigkeitv. Ferner sei P ein fest mit dem Rad verbundener Punkt im Abstand R von M, wobei 0 ≤ R ≤r. Die Punkte P und M befinden sich zur Zeitt= 0 auf der y-Achse undP liege unterhalb vonM.
M P R
r
(a) Beschreiben Sie die Bahnγ von P als Funktion der Zeitt.
(b) Welche Bogenl¨ange besitztγ f¨urr=R nach einer Radumdrehung?
(Hinweis: Nutzen Sie die Gleichung cosφ= 1−2 sin2 φ2.)
Pr¨asenzaufgabe 2. (Arbeitsintegrale und Potentialfelder) Seien f, g:R2→R2 undγ: [0,1]→R2 gegeben durch
f x
y
= x2
y2
, g x
y
= xy
y
sowie γ(t) = t
tα
mitα >1.
(a) Berechnen Sie R
hf, dγi undR
hg, dγi.
(b) Welche der Funktionenf, g besitzt ein Potential? Bestimmen Sie ein solches, falls es existiert.
Aufgabe 3. (Bogenl¨angen von Kurven) (a) Seiγ: [a, b]→R2 gegeben durch
γ(t) =
r(t) cosω(t) r(t) sinω(t)
mit stetig differenzierbaren Polarkoordinatenr, ω: [a, b]→R. Zeigen Sie, dass die Bogenl¨ange`(t) von γ dann gegeben ist durch
`(t0) = Z t0
a
pr0(t)2+r(t)2ω0(t)2dt.
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Wend Werner
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Thomas Timmermann timmermt@uni-muenster.de
(b) Die logarithmische und diearchimedische Spirale sind gegeben durch γL: [0,∞)→R2, t7→
eαtcost eαtsint
, γA: [0,∞)→R2, t7→
tcost tsint
, wobeiα >0. Bestimmen Sie die Bogenl¨ange`(t) f¨urγLund die Funktion`(sinhx) in Abh¨angigkeit von x∈[0,∞) f¨urγA.
Logarithmische Spirale Archimedische Spirale
Aufgabe 4. (Bestimmung von Potentialfeldern)
Pr¨ufen Sie, ob die folgenden Kraftfelder ein Potential besitzen, und bestimmen Sie im positiven Fall ein solches:
(a) F:R3 →R3,
x y z
7→
ysinz xsinz xycosz
.
(Hinweis: Sie d¨urfen raten und die L¨osung dann ¨uberpr¨ufen.) (b) G:R3 →R3, ~v7→ln(1 +k~vk2)~v.
(Hinweise: Verwenden Sie die Formel U(~v) = R
γ~vhG, dγ~vi mit γ~v(t) = t~v sowie Rlntdt=t(lnt−1) +c.)
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