Wend Werner
wwerner@uni-muenster.de
Thomas Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Mathematik f¨ur Physiker 3
Ubungsblatt 9, Abgabe bis 18. Dezember 12 Uhr¨
Pr¨asenzaufgabe 1. (Beispiel einer Picard-Lindel¨of-Iteration) Wir betrachten das Anfangswertproblem
y0(x) =y(x)x mit y(0) = 1
und die durch die Picard-Lindel¨of-Iteration gebildeten N¨aherungsl¨osungen y0, y1, . . .:
y0(x) = 1 und yn+1(x) = 1 + Z x
0
yn(ξ)ξdξ.
(a) L¨osen Sie das Anfangswertproblem durch Trennung der Variablen.
(b) Berechnen Siey1, y2, y3 und erraten Sie eine allgemeine Formel f¨uryn(x) der Form yn(x) = 1 +α1x2+· · ·+αnx2n mit geeigneten Koeffizientenα1, . . . , αn.
Aufgabe 2. (Nochmal Picard-Lindel¨of-Iteration)
Wir betrachten zun¨achst das AWP und die N¨aherungsl¨osungen yn aus Aufgabe 1.
(a) Finden Sieα1, α2, . . . so, dass yn(x) = 1 +α1x2+· · ·+anx2n f¨ur alle x ∈R und n∈N. Beweisen Sie diese Gleichheit per Induktion ¨uber n.
(b) Zeigen Sie, dass die Funktionen yn auf jedem kompakten Intervall gleichm¨aßig gegen die L¨osung konvergieren, also limn→∞supx∈[α,β]|yn(x)−ex2/2|= 0 f¨ur alle α, β∈Rgilt. Bestimmen Sie außerdem supx∈R|yn(x)−ex2/2|f¨ur alle n∈N. Wir betrachten nun die Abbildung T:C([1,2])→C([1,2]), definiert durch
(T y)(x) := 1 + Z x
1
y(ξ)
2ξ dξ f¨ur alle x∈[1,2], y ∈C([1,2]).
(c) Welche DGL ergibt sich f¨ur jede L¨osung y der Fixpunktgleichung y = T(y) nach Ableiten bez¨uglich x?
(d) Bestimmen Sie die L¨osung y dieser DGL und der Fixpunktgleichungy=T(y).
Aufgabe 3. (Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung)
Seif:R→R zweimal stetig differenzierbar,x0∈Reine einfache Nullstelle von f (d.h.
f(x0) = 0 undf0(x0)6= 0) undJ :={x∈R:f0(x)6= 0}.
(a) Berechnen Sie die Ableitung der Abbildung N:J →R, definiert durch N(x) =x− f(x)
f0(x).
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Wend Werner
wwerner@uni-muenster.de
Thomas Timmermann timmermt@uni-muenster.de
(b) Zeigen Sie, dass es ein β >0 gibt mitf0(x)6= 0 f¨ur alle x∈[x0−β, x0+β].
(c) Zeigen Sie, dass es einγ ∈(0, β) gibt mit|N0(x)| ≤ 12 f¨ur alle x∈[x0−γ, x0+γ].
(d) Sei I = [x0 −γ, x0 +γ] wie in (c). Zeigen Sie, dass N(x) ∈ I f¨ur jedes x ∈ I und limn→∞Nn(x) = x0 jedes x∈I. (Hinweis: Mittelwertsatz und Banachscher Fixpunktsatz.)
Aufgabe 4. (Das Heron-Verfahren)
(a) Seia > 0 gegeben. Bestimmen Sie f¨ur die Funktion f(x) =x2−a die zugeh¨orige AbbildungN aus Aufgabe 3(a).
(b) Zeigen Sie, dassN(x)−√
a= 12 √
x−pa
x
2
≥0 f¨ur alle x∈(0,∞).
(c) Zeigen Sie, dass f¨urx >√
astetsN(x)−√
a≤ 12(x−√ a) gilt.
(d) Folgern Sie, dass f¨uralle x∈(0,∞) die Folge (Nn(x))n gegen √
a konvergiert.
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