Wend Werner
wwerner@uni-muenster.de
Thomas Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Mathematik f¨ur Physiker 3
Ubungsblatt 5, Abgabe bis 20. November 12 Uhr¨
EinM ⊆Rn heißesch¨on, wenn es beschr¨ankt, orientiert, abgeschlossen und glatt berandet ist.
Pr¨asenzaufgabe 1. (Beispiele zum Integralsatz)
(a) SeiM ⊆R2 sch¨on. Zeigen Sie, dass dann gilt:
Vol(M) = Z
∂M
−ydx= Z
∂M
xdy = 1 2
Z
∂M
−ydx+xdy.
Berechnen Sie mit Hilfe dieser Formel den Fl¨acheninhalt des Kreises mit Radius r.
(b) Sei M ⊆ R3 sch¨on und u eine glatte Funktion auf einer Umgebung von M. Be- weisen Sie die folgende Greensche Formel:
Z
M
∆(u)dx∧dy∧dz= Z
∂M
∂x(u)dy∧dz+∂y(u)dz∧dy+∂z(u)dx∧dy, wobei ∆(u) =P
i∂2xiu.
Aufgabe 2. (Integralsatz und Maxwellsche Gleichung)
(a) Seien M ⊆Rn sch¨on und u, v glatte Funktionen auf einer Umgebung von M mit g|∂M ≡0. Zeigen Sie, dass dann f¨ur jedes i= 1, . . . , ngilt:
Z
M
∂f
∂xi
gdx1∧ · · · ∧dxn=− Z
M
f ∂g
∂xi
dx1∧ · · · ∧dxn.
(b) Sei M ⊆R3 sch¨on. Finden Sie eine (m¨oglichst einfache und bez¨uglich der Rollen von x, y, z symmetrische) 2-Formω mit
Vol(M) = Z
∂M
ω.
(c) Wir bezeichnen mit x, y, z, t die Koordinaten des R4 und mit Ex, Ey, Ez und Bx, By, Bz jeweils die Komponenten des elektrischen beziehungsweise magnetis- chen Feldes und
F =hB, dSi+hE, dXi ∧dt
(siehe Aufgabe 3 von Blatt 4). Zeigen Sie, dass dF = 0 genau dann gilt, wenn divB = 0 und rotE =−∂tB.
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Wend Werner
wwerner@uni-muenster.de
Thomas Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Aufgabe 3. (Gram-Schmidt-Orthonormierungsverfahren)
SeiH ein Hilbertraum. DasGram-Schmidt-Orthonormierungsverfahren ordnet gegebe- nen linear unabh¨angigen Vektoren v1, . . . , vn∈H schrittweise f¨ur k= 1, . . . , n die Vek- toren
ek:=wk/kwkk mit wk :=vk−
k
X
i=1
hvk, eiiei
zu. Zeigen Sie per Induktion, dass (e1, . . . , en) ein Orthonormalsystem ist und die Men- gen{v1, . . . , vk} und{e1, . . . , ek} f¨urk= 1, . . . , ndieselbe lineare H¨ulle haben.
Aufgabe 4. (Orthogonalit¨at der Legendre-Polynome)
Wenden Sie das Gram-Schmidt-Orthonormierungsverfahren auf die Polynome 1, X, X2, betrachtet als Vektoren des HilbertraumesL2([−1,1]), an und zeigen Sie, dass die erhal- tenen Vektoren gerade dieLegendre-Polynome
Pn(x) = 1 2nn!
r2n+ 1 2
dn
dxn(x2−1)n f¨urn= 0,1,2 sind.
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