Wend Werner
wwerner@uni-muenster.de
Thomas Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Mathematik f¨ur Physiker 2
Ubungsblatt 3, Abgabe bis 12. Mai 12 Uhr¨
Pr¨asenzaufgabe 1. (Spiegelungsmatrizen und Matrixprodukte) Seiφ∈R undSφ:R2 →R2 die Spiegelung entlang der Geraden
Eφ:=
λ
cosφ sinφ
:λ∈R
⊂R2.
(a) Bestimmen Sie die Matrix zu Sφ, indem Sie anhand einer Skizze die Bilder der Einheitsvektoren
1 0
und 0
1
unterSφ bestimmen.
(b) Beschreiben SieSφals Nacheinanderausf¨uhrung einer Drehung um einen geeigneten Winkelα, einer Spiegelung entlang derx-Achse und einer anschließenden Drehung um einen geeigneten Winkel β.
(c) Rechnen Sie nach, dass f¨ur die Matrizen zu den linearen Abbildungen aus (b) entsprechendSφ=DβS0Dα gilt, wobei
Dψ =
cosψ −sinψ sinψ cosψ
f¨ur alle ψ∈R.
Aufgabe 2. (Fortsetzung zu linearen Abbildungen)
Pr¨ufen Sie jeweils f¨ur die folgenden Vektoren v1, . . . , v4 ∈R3 und w1, . . . , w4 ∈R4, ob es eine lineare AbbildungF:R3→R4 gibt, dieF(vi) =wi f¨ur alle i= 1, . . . ,4 erf¨ullt:
(a) v1 = (0,0,1), v2= (2,1,1), v3 = (0,1,1), v4 = (2,0,1), w1 = (1,1,1,1), w2= (1,0,1,0), w3 = (0,0,0,1), w4 = (2,1,2,1), (b) vi wie in (a),
w1 = (1,1,1,1), w2= (1,1,1,0), w3 = (0,1,1,1), w4 = (2,1,1,0).
Aufgabe 3. (Ableitung und Verschiebung von Polynomen)
Bezeichne Pn den komplexen Vektorraum aller Polynome vom Grad h¨ochstens n und sei D:Pn → Pn die Ableitung und Ta:Pn → Pn die Verschiebung des Argumentes um ein festes a∈C, also
D(bnXn+· · ·+b1X+b0) =nbnXn−1+· · ·+ 2b2X+b1, Ta(bnXn+· · ·+b1X+b0) =bn(X+a)n+· · ·+b1(X+a) +b0
f¨ur alle b0, . . . , bn∈C.
(a) Bestimmen Sie die DarstellungsmatrizenMB(D) und MB(Ta) bez¨uglich der Basis B = (X0, . . . , Xn).
(b) Finden Sie eine Basis C von Pn mit
MC(D) =
0 1 0 · · · 0 0 0 1 . .. ...
... . .. ... 0
0 0 1
0 0 · · · 0 0
.
Abzugeben sind alle Aufgaben 1–4.
Wend Werner
wwerner@uni-muenster.de
Thomas Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Aufgabe 4. (Vertauschung von Abbildungen und Matrizen)
(a) Zeigen Sie, dass die linearen Abbildungen D:Pn → Pn und Ta:Pn → Pn aus Aufgabe 3 kommutieren, also Ta◦D=D◦Ta erf¨ullen.
(b) Rechnen Sie explizit nach, dass im Fall n= 3 auch die Darstellungsmatrizen
MB(D) =
0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0
und MB(Ta) =
1 a a2 a3 0 1 2a 3a2
0 0 1 3a
0 0 0 1
kommutieren, alsoMB(D)MB(Ta) =MB(Ta)MB(D) erf¨ullen.
Abzugeben sind alle Aufgaben 1–4.
