Wend Werner
wwerner@uni-muenster.de
Thomas Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Mathematik f¨ur Physiker 3
Ubungsblatt 8, Abgabe bis 11. Dezember 12 Uhr¨
Pr¨asenzaufgabe 1. (Anwendung des Residuensatzes auf ein unbestimmtes Integral)
Wir betrachten die Funktion
f(z) = 1 z4+ 5z2+ 4. Bestimmen Sie
(a) Lage und Vielfachheiten aller Polstellen vonf,
(b) die Residuen vonf an den Polstellen in der oberen Halbebene, (c) das IntegralR∞
−∞f(x)dx.
Aufgabe 2. (Bestimmung von Residuen) Zeigen Sie:
(a) res1 (z−1)e2z 2 = 2e2; (b) res0 zsin2+2z = 2;
(c) F¨ur jede Nullstelleω des Polynomsh(z) = 1 +z4 gilt resω 1
h(z) =−1 4ω.
(Hinweis: Benutzen Sie die Formel f¨ur Residuen von Quotienten.) (d) res0 z
1−cosz = 2. (Hinweis: Benutzen Sie die Formel f¨ur Residuen an k-fachen Polen: resaf = (k−1)!1 ddz(k−1)k−1 limz→a(z−a)kf(z).)
Aufgabe 3. (Berechnung unbestimmter Integrale mit dem Residuensatz)
Zeigen Sie:
(a) Z ∞
−∞
dx
(x2+x+ 1)2 = 4π 3√
3. (b)
Z ∞
−∞
dx cosx (x2+ 1)2 = π
e.
Aufgabe 4. (Integral einer rationalen Funktion incosz und sinz) In mehreren Schritten soll gezeigt werden:
Z 2π
0
dθ
cos4θ+ sin4θ =π√ 8.
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Wend Werner
wwerner@uni-muenster.de
Thomas Timmermann timmermt@uni-muenster.de
(a) Schreiben Sie dazu den Integranden in der FormR(cosθ,sinθ) mit einer rationalen Funktion R zweier Variablen, und zeigen Sie f¨ur die Hilfsfunktion
R(z) =˜ 1 zR
z+ 1/z
2 ,z−1/z 2i
die Gleichung ˜R(z) = 8z3 z8+ 6z4+ 1.
(b) Bestimmen Sie die Pole von ˜R, die im Einheitskreis liegen, und zeigen Sie, dass an jedem dieser Pole das Residuum gleich 1/√
8 ist.
(c) Schlussfolgern Sie die eingangs behauptete Gleichung f¨ur das Integral.
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